Exercice 26

1. Les deux coordonnées de $f$ sont des combinaisons linéaires de $x$, $y$, $z$, $t$ : $f$ est linéaire. On a $f(x, y, z, t) = 0$ si et seulement si $x = z$ et $y = t$, soit $(x, y, x, y) = x(1, 0, 1, 0) + y(0, 1, 0, 1)$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Vect}\big((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)\big), \qquad \dim\mathrm{Ker}\, f = 2}$$

2. Par le théorème du rang, $\mathrm{rg} f = 4 - 2 = 2 = \dim\mathbb{K}^{2}$, donc $\operatorname{Im} f = \mathbb{K}^{2}$ (théorème 5) : $f$ est surjective, sans qu'on ait eu à résoudre l'équation $f(x) = b$.

3. L'ensemble $G$ est défini par deux équations linéaires, donc est un sous-espace ; $G = \mathrm{Vect}(e_{1}, e_{4})$ est de dimension $2$. Si $(x, 0, 0, t) \in \mathrm{Ker}\, f$, alors $x = z = 0$ et $t = y = 0$ : $G \cap \mathrm{Ker}\, f = \{0\}$, et les dimensions ont pour somme $4$. $$\boxed{\mathbb{K}^{4} = \mathrm{Ker}\, f \oplus G}$$