Exercice 25

Si $S$ est un supplémentaire commun, $\dim F = \dim E - \dim S = \dim G$. Réciproquement, on raisonne par récurrence descendante sur $p = \dim F = \dim G$. Si $p = \dim E$, $F = G = E$ et $\{0\}$ convient. Sinon, $F$ et $G$ sont des sous-espaces stricts, et $F \cup G \neq E$ : sinon $F \cup G$ serait un sous-espace, donc égal à $F$ ou à $G$ (proposition 5 du chapitre 14), et l'un des deux serait $E$. Soit $x \notin F \cup G$. Les sous-espaces $F' = F \oplus \mathbb{K} x$ et $G' = G \oplus \mathbb{K} x$ ont la même dimension $p + 1$ ; par hypothèse de récurrence, ils ont un supplémentaire commun $S'$, et $S = S' \oplus \mathbb{K} x$ est un supplémentaire commun de $F$ et de $G$, puisque $F \oplus \mathbb{K} x \oplus S' = E$. $$\boxed{F \text{ et } G \text{ ont un supplémentaire commun} \iff \dim F = \dim G}$$