Exercice 24

1. Initialisation. Comme $e_{1} \neq 0$, il s'écrit $e_{1} = \sum a_{i}f_{i}$ avec un coefficient $a_{i_{1}} \neq 0$. Alors $f_{i_{1}}$ est combinaison de $e_{1}$ et des autres $f_{i}$, et la famille obtenue en remplaçant $f_{i_{1}}$ par $e_{1}$ engendre un sous-espace contenant tous les $f_{i}$ : elle est génératrice.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(r)$, $r < n$, et notons $\mathcal{F}_{r}$ la famille génératrice obtenue. On écrit $e_{r + 1}$ comme combinaison des vecteurs de $\mathcal{F}_{r}$. Si les coefficients des $f_{i}$ restants étaient tous nuls, $e_{r + 1}$ serait combinaison de $e_{1}, \dots, e_{r}$, ce que la liberté interdit. Il existe donc un $f_{i_{r + 1}}$ restant de coefficient non nul, et le même raisonnement montre que l'on peut le remplacer par $e_{r + 1}$.

2. La propriété $\mathcal{P}(n)$ exige $n$ indices distincts parmi $m$ : donc $n \leqslant m$, ce qui est le théorème 1. On « échange » un à un les vecteurs de la famille génératrice contre ceux de la famille libre, sans perdre le caractère générateur : c'est la démonstration de Steinitz (1913).