Exercice 23

$\triangleright$ Conditions nécessaires. On a $\dim(F \cap G) \leqslant \min(p, q)$, et la formule de Grassmann donne $$\dim(F \cap G) = p + q - \dim(F + G) \geqslant p + q - n.$$

$\triangleright$ Réalisation. Soit $d$ un entier tel que $\max(0, p + q - n) \leqslant d \leqslant \min(p, q)$, et $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$. On pose $F = \mathrm{Vect}(e_{1}, \dots, e_{p})$ et $G = \mathrm{Vect}(e_{p - d + 1}, \dots, e_{p - d + q})$, ce qui a un sens car $p - d + q \leqslant n$. Leur intersection est engendrée par les vecteurs communs, $e_{p - d + 1}, \dots, e_{p}$, au nombre de $d$. $$\boxed{\dim(F \cap G) \in [\![\max(0, p + q - n)\,;\min(p, q)]\!], \text{ et toutes ces valeurs sont atteintes.}}$$