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ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 15 — Dimension finie et rang · Sous-espaces et dimension

Exercice 22

Démonstration

Soit EE un espace de dimension finie.

1. Montrer, à l'aide de la dimension, que deux supplémentaires d'un même sous-espace sont isomorphes.

2. Soit FF et GG deux sous-espaces de EE en somme directe. Montrer qu'il existe un sous-espace F^\widehat{F} contenant FF tel que F^⊕G=E\widehat{F} \oplus G = E.

Corrigé

1. Deux supplémentaires de FF ont la même dimension, dim⁡E−dim⁡F\dim E - \dim F (théorème 6), donc sont isomorphes (théorème 11).

2. Soit TT un supplémentaire de F⊕GF \oplus G dans EE, et F^=F+T\widehat{F} = F + T. Alors F^+G=(F+G)+T=E\widehat{F} + G = (F + G) + T = E, et la proposition 3 donne dim⁡F^+dim⁡G=dim⁡F+dim⁡T+dim⁡G=dim⁡E\dim\widehat{F} + \dim G = \dim F + \dim T + \dim G = \dim E, la somme F+G+TF + G + T étant directe. Par la proposition 4, F^⊕G=E\widehat{F} \oplus G = E.

Énoncé PDF, p. 4Corrigé PDF, p. 6Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Dimension d'un espace vectorielSommes directes, supplémentaires, projecteurs

Thèmes

sous-espaces et dimension, dimension, supplémentaires

Notions

dimension, supplémentaire

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