ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 15 — Dimension finie et rang · Sous-espaces et dimension

Exercice 21

Démonstration

Soit $E$ un espace de dimension finie.

1. Montrer que si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces de $E$ tels que $\dim F + \dim G > \dim E$ , alors $F \cap G \neq \{0\}$ .

2. Soit $F$ , $G$ , $H$ trois sous-espaces de $E$ . Donner une condition sur $\dim F + \dim G + \dim H$ garantissant que $F \cap G \cap H \neq \{0\}$ .

Corrigé

1. Par la formule de Grassmann, $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F + G) \geqslant \dim F + \dim G - \dim E > 0.$

2. En appliquant deux fois la même inégalité, avec $n = \dim E$ , $\dim(F \cap G \cap H) \geqslant \dim(F \cap G) + \dim H - n \geqslant \dim F + \dim G + \dim H - 2n.$

\boxed{\dim F + \dim G + \dim H > 2\dim E \implies F \cap G \cap H \neq \{0\}}

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Dans l'édifice

Dimension d'un espace vectoriel

Thèmes

sous-espaces et dimension, dimension, formule de grassmann

Notions

dimension