ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 15 — Dimension finie et rang · Sous-espaces et dimension

Exercice 20

DémonstrationCalcul

1. Soit $E$ un sous-espace de $\mathbb{K}^{n}$ . Montrer qu'il existe une sous-famille $(e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{r}})$ de la base canonique telle que $E$ et $\mathrm{Vect}(e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{r}})$ soient supplémentaires.

2. Déterminer un supplémentaire de $\{(x, y, z, t) \in \mathbb{K}^{4} \mid x - y - z + t = 0 \text{ et } y - 2z + t = 0\}$ .

Corrigé

1. On complète une base de $E$ en une base de $\mathbb{K}^{n}$ à l'aide de vecteurs de la base canonique (théorème 2 (iii)) ; les vecteurs ajoutés engendrent un supplémentaire de $E$ (démonstration du théorème 6).

2. La seconde équation donne $y = 2z - t$ , la première $x = y + z - t = 3z - 2t$  ; le sous-espace a donc pour base la famille $\big((3, 2, 1, 0), (-2, -1, 0, 1)\big)$ . Ajoutons $e_{1}$ et $e_{2}$ : une relation $a(3, 2, 1, 0) + b(-2, -1, 0, 1) + ce_{1} + de_{2} = 0$ donne $a = b = 0$ par les deux dernières coordonnées, puis $c = d = 0$ . $\boxed{\text{un supplémentaire : } \mathrm{Vect}(e_{1}, e_{2})}$

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Dans l'édifice

Dimension d'un espace vectoriel Tout espace vectoriel a une base Sommes directes, supplémentaires, projecteurs

Thèmes

sous-espaces et dimension, bases, supplémentaires

Notions

dimension, base (algèbre linéaire), théorème de la base incomplète, supplémentaire