Exercice 19

1. Ce sont les noyaux de $P \mapsto P(-X) - P(X)$ et de $P \mapsto P(-X) + P(X)$. Si $P$ est dans les deux, $P = -P$, donc $P = 0$.

2. Les familles $(1, X^{2}, \dots, X^{2n})$ et $(X, X^{3}, \dots, X^{2n - 1})$ sont libres, à degrés distincts, et formées de $n + 1$ et $n$ vecteurs de $\mathcal{P}$ et de $\mathcal{I}$.

3. La somme étant directe, $\dim\mathcal{P} + \dim\mathcal{I} = \dim(\mathcal{P} \oplus \mathcal{I}) \leqslant \dim\mathbb{K}_{2n}[X] = 2n + 1$. Avec la question 2, toutes les inégalités sont des égalités : $\dim\mathcal{P} = n + 1$, $\dim\mathcal{I} = n$, les familles de la question 2 sont des bases (théorème 4), et $\mathcal{P} \oplus \mathcal{I}$, de dimension $2n + 1$, est égal à $\mathbb{K}_{2n}[X]$ (théorème 5). $$\boxed{\mathbb{K}_{2n}[X] = \mathcal{P} \oplus \mathcal{I}, \quad \dim\mathcal{P} = n + 1, \quad \dim\mathcal{I} = n}$$