Exercice 18

1. Un polynôme $a + bX + cX^{2} + dX^{3}$ vérifie $P(0) = P'(0) = 0$ si et seulement si $a = b = 0$. $$\boxed{F = \mathrm{Vect}(X^{2}, X^{3}), \qquad \mathbb{R}_{3}[X] = F \oplus \mathrm{Vect}(1, X)}$$

2. Le vecteur $(t, t, 1)$ n'est pas nul, donc $\dim D_{t} = 1$ ; les vecteurs $(1, t, 1)$ et $(2, 1, 1)$ ne sont pas colinéaires, puisque leurs dernières coordonnées sont égales et les premières différentes : $\dim P_{t} = 2$. Par la proposition 4, $D_{t} \oplus P_{t} = \mathbb{R}^{3}$ si et seulement si les trois vecteurs sont libres. L'équation $\lambda(t, t, 1) + \mu(1, t, 1) + \nu(2, 1, 1) = 0$ conduit, par la méthode du pivot, à la condition $(t - 1)^{2}\lambda = 0$. $$\boxed{D_{t} \oplus P_{t} = \mathbb{R}^{3} \iff t \neq 1}$$ Pour $t = 1$, on a $(1, 1, 1) \in P_{1}$, comme vecteur de la famille génératrice.