ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 15 — Dimension finie et rang · Sous-espaces et dimension

Exercice 17

Démonstration

1. Dans $\mathbb{R}^{4}$ , on pose $F = \{(a, b, c, d) \mid b - 2c + d = 0\}$ et $G = \{(a, b, c, d) \mid a = d \text{ et } b = 2c\}$ . Donner une base de $F$ , de $G$ et de $F \cap G$ , puis montrer que $F + G = \mathbb{R}^{4}$ .

2. Dans $\mathbb{R}^{4}$ , on pose $F = \{(x, y, z, t) \mid x + y + z + t = 0\}$ et $G = \{(2a, -a, 0, a) \mid a \in \mathbb{R}\}$ . Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires, et décomposer $(1, 2, 3, 4)$ selon $F \oplus G$ .

Corrigé

1. L'équation de $F$ donne $b = 2c - d$ : $F = \mathrm{Vect}\big((1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1)\big)$ , de dimension $3$ . Pour $G$ , $(d, 2c, c, d) = c(0, 2, 1, 0) + d(1, 0, 0, 1)$ : $\dim G = 2$ . Un vecteur de $G$ appartient à $F$ si et seulement si $2c - 2c + d = 0$ , soit $d = 0$ . La formule de Grassmann donne $\dim(F + G) = 3 + 2 - 1 = 4$ , donc $F + G = \mathbb{R}^{4}$ . $\boxed{F \cap G = \mathbb{R}(0, 2, 1, 0), \qquad F + G = \mathbb{R}^{4}}$

2. Le sous-espace $F$ est un hyperplan, et $(2, -1, 0, 1) \notin F$ , puisque la somme de ses coordonnées vaut $2$ : $\mathbb{R}^{4} = F \oplus G$ (théorème 7 du chapitre 14). Pour décomposer $(1, 2, 3, 4) = f + a(2, -1, 0, 1)$ , la somme des coordonnées donne $10 = 0 + 2a$ , donc $a = 5$ . $\boxed{(1, 2, 3, 4) = (-9, 7, 3, -1) + 5(2, -1, 0, 1)}$

Énoncé PDF, p. 3 Corrigé PDF, p. 5 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Dimension d'un espace vectoriel Tout espace vectoriel a une base Sommes directes, supplémentaires, projecteurs

Thèmes

sous-espaces et dimension, bases, supplémentaires, formule de grassmann

Notions

dimension, base (algèbre linéaire), théorème de la base incomplète, supplémentaire