Exercice 16

(i) On trouve $F = \mathrm{Vect}\big((2, 1, 0), (-1, 0, 1)\big)$ et $G = \mathrm{Vect}\big((1, 2, 0), (-1, 0, 1)\big)$. Le vecteur $(2, 1, 0)$ n'appartient pas à $G$, donc $F \neq G$ et $\dim(F \cap G) \leqslant 1$ (théorème 5) ; comme $(-1, 0, 1)$ vérifie les deux équations, $F \cap G$ est la droite qu'il engendre. Par Grassmann, $\dim(F + G) = 2 + 2 - 1 = 3$. $$\boxed{F \cap G = \mathbb{R}(-1, 0, 1), \quad F + G = \mathbb{R}^{3}, \quad \text{non supplémentaires}}$$

(ii) On a $F = \mathrm{Vect}\big((1, 1, 0), (2, 0, 1)\big)$. Les conditions $x = 2y$ et $2y = x + z$ donnent $z = 0$ et $x = 2y$ : $G = \mathbb{R}(2, 1, 0)$. Ce vecteur n'est pas dans $F$, puisque $2 - 1 - 0 \neq 0$, donc $F \cap G = \{0\}$, et les dimensions ont pour somme $3$ (proposition 4). $$\boxed{F \cap G = \{0\}, \quad \mathbb{R}^{3} = F \oplus G}$$

(iii) On a $F = \mathbb{R}(1, 1, 1)$ et $G = \mathrm{Vect}\big((1, 1, 0), (1, 0, 1)\big)$. Si $(a, a, a) = (b + c, b, c)$, alors $b = c = a$ et $a = 2a$, donc $a = 0$ : même conclusion. $$\boxed{\mathbb{R}^{3} = F \oplus G}$$