Exercice 15

1. Pour $F$, on écrit $x = 2y - z$, ce qui donne $F = \mathrm{Vect}\big((2, 1, 0), (-1, 0, 1)\big)$. Pour $G$, on écrit $(a, a + b, b) = a(1, 1, 0) + b(0, 1, 1)$. Dans les deux cas, les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. $$\boxed{F : \big((2, 1, 0), (-1, 0, 1)\big), \qquad G : \big((1, 1, 0), (0, 1, 1)\big)}$$

2. En retranchant les équations de $F$, on obtient $t = x$, puis $z = -x - y$, d'où $$F = \mathrm{Vect}\big((1, 0, -1, 1), (0, 1, -1, 0)\big),$$ de dimension $2$. Le vecteur $(1, 1, 1, 1)$ n'appartient pas à $F$, puisque $1 + 1 + 1 \neq 0$ : $F \cap G = \{0\}$, et $F + G = F \oplus G$ est de dimension $3$. $$\boxed{F + G = \mathrm{Vect}\big((1, 0, -1, 1), (0, 1, -1, 0), (1, 1, 1, 1)\big)}$$