Exercice 14

Soit $V = \mathrm{Vect}(f_{1}, \dots, f_{n})$, de dimension $n$. La dérivation $f \mapsto f'$ est linéaire et surjective de $V$ sur l'espace $\mathrm{Vect}(f_{1}', \dots, f_{n}')$. Son noyau est formé des fonctions constantes de $V$, donc de dimension au plus $1$. Le théorème du rang donne $$\boxed{\mathrm{rg}(f_{1}', \dots, f_{n}') = n - \dim\mathrm{Ker}\, \geqslant n - 1}$$ L'égalité a lieu lorsque $V$ contient les constantes, par exemple pour $(1, x, x^{2})$, dont les dérivées $(0, 1, 2x)$ sont de rang $2$.