Exercice 13

1. Les vecteurs $x_{i} + y_{i}$ appartiennent à $V = \mathrm{Vect}(x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n})$, qui contient donc une famille libre de $n$ vecteurs : $\dim V \geqslant n$ (théorème 1), c'est-à-dire $\mathrm{rg}(x_{1}, \dots, y_{n}) \geqslant n$ (proposition 2).

2. Notons $V_{p} = \mathrm{Vect}(u_{1}, \dots, u_{p})$. On a $V_{p} \subset V_{q}$, d'où la première inégalité. Par ailleurs, $V_{q}$ est la somme de $V_{p}$ et de $\mathrm{Vect}(u_{p + 1}, \dots, u_{q})$, et la proposition 5 donne $$\dim V_{q} \leqslant \dim V_{p} + (q - p).$$