ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 15 — Dimension finie et rang · Espaces de dimension finie

Exercice 12

Démonstration

Soit $k \geqslant 1$ et $Q = X^{k} + \alpha_{k - 1}X^{k - 1} + \cdots + \alpha_{1}X + \alpha_{0} \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme ayant $k$ racines distinctes $\rho_{1}, \dots, \rho_{k}$ . Montrer que l'ensemble $R = \{(u_{n}) \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}} \mid u_{n + k} + \alpha_{k - 1}u_{n + k - 1} + \cdots + \alpha_{1}u_{n + 1} + \alpha_{0}u_{n} = 0 \text{ pour tout } n\}$ est un sous-espace de $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ de dimension $k$ , et en donner une base.

Corrigé

L'application $u \mapsto (u_{0}, \dots, u_{k - 1})$ est un isomorphisme de $R$ sur $\mathbb{C}^{k}$ : une suite de $R$ est déterminée par ses $k$ premiers termes, choisis arbitrairement, la relation calculant les suivants. Donc $\dim R = k$ . Pour chaque racine $\rho_{i}$ , la suite $(\rho_{i}^{n})$ appartient à $R$ , puisque $\rho_{i}^{n}Q(\rho_{i}) = 0$ . Ces $k$ suites géométriques de raisons distinctes sont libres (exercice 9), donc forment une base. $\boxed{\dim R = k, \qquad R = \mathrm{Vect}\big((\rho_{1}^{n}), \dots, (\rho_{k}^{n})\big)}$

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Dans l'édifice

Dimension d'un espace vectoriel Tout espace vectoriel a une base L'anneau A[X], degré et intégrité

Thèmes

espaces de dimension finie, dimension, bases, espaces de polynômes

Notions

espace de dimension finie, dimension, base (algèbre linéaire), théorème de la base incomplète