Exercice 11

1. L'application $P \mapsto \Big(P(0), \frac{P - P(0)}{X}\Big)$ est linéaire, de réciproque $(a, Q) \mapsto a + XQ$. Si $\mathbb{K}[X]$ était de dimension finie $d$, de base $(b_{1}, \dots, b_{d})$, la famille $\big((1, 0), (0, b_{1}), \dots, (0, b_{d})\big)$ serait une base de $\mathbb{K} \times \mathbb{K}[X]$, de dimension $d + 1$ ; or deux espaces isomorphes ont la même dimension (proposition 6), d'où $d = d + 1$, ce qui est absurde. $$\boxed{\mathbb{K}[X] \simeq \mathbb{K} \times \mathbb{K}[X], \text{ donc } \mathbb{K}[X] \text{ est de dimension infinie.}}$$

2. L'espace $\mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ contient la famille libre infinie des fonctions $x \mapsto x^{k}$, $k \in \mathbb{N}$ : il est de dimension infinie, puisqu'un espace de dimension $n$ ne contient aucune famille libre de $n + 1$ vecteurs (théorème 1).