Exercice 10

Une fonction de $E$ est déterminée par ses valeurs en $-1$, $0$ et $1$, qui sont quelconques : l'application $f \mapsto \big(f(-1), f(0), f(1)\big)$ est un isomorphisme de $E$ sur $\mathbb{R}^{3}$, et $E$, qui est stable par combinaison linéaire, est un sous-espace de dimension $3$. Les fonctions $f_{1} : x \mapsto \max(-x, 0)$, $f_{2} : x \mapsto \max(x, 0)$ et la constante $1$ ont pour images $(1, 0, 0)$, $(0, 0, 1)$ et $(1, 1, 1)$, qui forment une base de $\mathbb{R}^{3}$. $$\boxed{\dim E = 3, \qquad \text{base } (f_{1}, f_{2}, 1)}$$