Exercice 9

1. L'application $u \mapsto (u_{0}, \dots, u_{T - 1})$ est un isomorphisme de $P_{T}$ sur $\mathbb{C}^{T}$ : une suite $T$-périodique est déterminée par ses $T$ premiers termes, qui sont quelconques. $$\boxed{\dim P_{T} = T}$$

2. Pour $\omega \in \mathbb{U}_{T}$, la suite $(\omega^{n})$ est $T$-périodique. Montrons que des suites géométriques de raisons distinctes $\omega_{1}, \dots, \omega_{m}$ sont libres, par récurrence sur $m$. Si $\sum \lambda_{k}\omega_{k}^{n} = 0$ pour tout $n$, on écrit cette égalité au rang $n + 1$ et l'on retranche $\omega_{m}$ fois l'égalité au rang $n$ : $\sum_{k < m} \lambda_{k}(\omega_{k} - \omega_{m})\omega_{k}^{n} = 0$. L'hypothèse de récurrence donne $\lambda_{k}(\omega_{k} - \omega_{m}) = 0$, donc $\lambda_{k} = 0$ pour $k < m$, puis $\lambda_{m} = 0$. On obtient ainsi $T$ suites libres dans $P_{T}$, de dimension $T$. $$\boxed{\big((\omega^{n})_{n}\big)_{\omega \in \mathbb{U}_{T}} \text{ est une base de } P_{T}}$$

3. La suite nulle est périodique ; si $u$ est $T$-périodique et $v$ est $S$-périodique, $\lambda u + v$ est $TS$-périodique : $P$ est un sous-espace. La famille des $(\omega^{n})$, $\omega$ parcourant l'ensemble des racines de l'unité, est libre par la question 2, et elle engendre $P$, puisque toute suite périodique appartient à un $P_{T}$. $$\boxed{\text{Base de } P : \big((\omega^{n})_{n}\big)_{\omega \in \bigcup_{T} \mathbb{U}_{T}}}$$