ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 15 — Dimension finie et rang · Espaces de dimension finie

Exercice 8

Démonstration

1. Montrer que l'ensemble des suites arithmétiques complexes est un sous-espace de dimension $2$ de $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ , et en donner une base.

2. Soit $P = X^{2} + \alpha X + \beta \in \mathbb{K}[X]$ ayant deux racines distinctes $\rho$ et $\sigma$ dans $\mathbb{K}$ , et $R = \{(u_{n}) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \mid u_{n + 2} + \alpha u_{n + 1} + \beta u_{n} = 0 \text{ pour tout } n\}.$ Montrer que $R$ est un plan vectoriel, puis en déduire, sans refaire le calcul du chapitre 7, que $\big((\rho^{n}), (\sigma^{n})\big)$ est une base de $R$ .

Corrigé

1. L'application $(u_{n}) \mapsto (u_{0}, u_{1} - u_{0})$ est un isomorphisme de l'espace des suites arithmétiques sur $\mathbb{C}^{2}$ , puisqu'une suite arithmétique est déterminée par son premier terme et sa raison. Il est de dimension $2$ , de base $\big((1)_{n}, (n)_{n}\big)$ , images réciproques de la base canonique.

2. Par la proposition 1 (iii) du cours, $R$ est de dimension $2$ . Les suites $(\rho^{n})$ et $(\sigma^{n})$ appartiennent à $R$ , puisque $\rho^{2} + \alpha\rho + \beta = 0$ , et elles ne sont pas colinéaires, puisque leurs deux premiers termes $(1, \rho)$ et $(1, \sigma)$ ne le sont pas. Deux vecteurs libres d'un plan en forment une base. $\boxed{R = \mathrm{Vect}\big((\rho^{n}), (\sigma^{n})\big)}$ La dimension remplace le calcul : on n'a pas eu à montrer que toute solution est combinaison des deux suites.

Énoncé PDF, p. 2 Corrigé PDF, p. 3 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Dimension d'un espace vectoriel Tout espace vectoriel a une base L'anneau A[X], degré et intégrité Espaces vectoriels et sous-espaces

Thèmes

espaces de dimension finie, dimension, bases, espaces de polynômes, suites récurrentes linéaires

Notions

espace de dimension finie, dimension, base (algèbre linéaire), théorème de la base incomplète