ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 15 — Dimension finie et rang · Espaces de dimension finie

Exercice 7

DémonstrationCalcul

1. Soit $n \geqslant 1$ et $\alpha \in \mathbb{R}$ . Montrer que $F = \{P \in \mathbb{R}_{n}[X] \mid P(\alpha) = 0\}$ est un sous-espace de $\mathbb{R}_{n}[X]$ , dont $\big((X - \alpha)X^{k}\big)_{0 \leqslant k \leqslant n - 1}$ est une base. Donner les coordonnées de $(X - \alpha)^{n}$ dans cette base.

2. Soit $a \neq b$ deux réels. Déterminer une base de $\{P \in \mathbb{R}_{4}[X] \mid P(a) = P(b) = 0\}$ .

Corrigé

1. L'ensemble $F$ est le noyau de la forme linéaire non nulle $P \mapsto P(\alpha)$ : c'est un hyperplan, de dimension $n$ (théorème 12). Les $n$ polynômes $(X - \alpha)X^{k}$ appartiennent à $F$ et sont de degrés distincts, donc libres : c'est une base. En écrivant $(X - \alpha)^{n} = (X - \alpha)\big(X - \alpha\big)^{n - 1}$ et en développant le second facteur par la formule du binôme : $\boxed{(X - \alpha)^{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} \binom{n - 1}{k}(-\alpha)^{n - 1 - k}\,(X - \alpha)X^{k}}$

2. Un polynôme de $\mathbb{R}_{4}[X]$ s'annulant en $a$ et en $b$ s'écrit $(X - a)(X - b)Q$ avec $\deg Q \leqslant 2$ , et réciproquement : l'application $Q \mapsto (X - a)(X - b)Q$ est un isomorphisme de $\mathbb{R}_{2}[X]$ sur ce sous-espace. $\boxed{\big((X - a)(X - b),\ X(X - a)(X - b),\ X^{2}(X - a)(X - b)\big)}$

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Dans l'édifice

Dimension d'un espace vectoriel Tout espace vectoriel a une base L'anneau A[X], degré et intégrité

Thèmes

espaces de dimension finie, bases, espaces de polynômes

Notions

espace de dimension finie, dimension, base (algèbre linéaire), théorème de la base incomplète