ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 15 — Dimension finie et rang · Espaces de dimension finie

Exercice 6

Démonstration

Polynômes de Bernstein. Soit $n \in \mathbb{N}$ . Pour $k \in [\![0\,;n]\!]$ , on pose $B_{k} = X^{k}(1 - X)^{n - k}$ . Montrer que $(B_{0}, \dots, B_{n})$ est une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$ .

Corrigé

La famille a $n + 1$ éléments, dans un espace de dimension $n + 1$ : il suffit de montrer qu'elle est libre. Si $\sum \lambda_{k}B_{k} = 0$ , l'évaluation en $0$ donne $\lambda_{0} = 0$ , car $B_{k}(0) = 0$ pour $k \geqslant 1$ . On divise alors par $X$  ; le polynôme $\sum_{k \geqslant 1} \lambda_{k}X^{k - 1}(1 - X)^{n - k}$ est nul, et son évaluation en $0$ donne $\lambda_{1} = 0$ . Une récurrence conclut. $\boxed{(B_{0}, \dots, B_{n}) \text{ est une base de } \mathbb{R}_{n}[X]}$

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Dans l'édifice

Dimension d'un espace vectoriel Tout espace vectoriel a une base L'anneau A[X], degré et intégrité

Thèmes

espaces de dimension finie, bases, espaces de polynômes

Notions

espace de dimension finie, dimension, base (algèbre linéaire), théorème de la base incomplète