Exercice 5

1. Une famille génératrice de $n$ vecteurs de $\mathbb{K}^{n}$ est une base (théorème 4), donc libre, et sa sous-famille $(e_{2}, \dots, e_{n})$ aussi.

2. Si $\sum_{k} \lambda_{k}u_{k} = 0$, la $n$-ième coordonnée vaut $\lambda_{n}$, car seul $u_{n}$ a une $n$-ième coordonnée non nulle, égale à $1$ ; donc $\lambda_{n} = 0$. La $(n - 1)$-ième coordonnée vaut alors $\lambda_{n - 1}$, et ainsi de suite : la famille est libre, donc une base, puisqu'elle a $n$ éléments. $$\boxed{(u_{1}, \dots, u_{n}) \text{ est une base de } \mathbb{K}^{n}}$$