ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 15 — Dimension finie et rang · Espaces de dimension finie

Exercice 4

DémonstrationCalcul

Soit $P = X^{4} + 2X^{3} - 2X^{2} - 6X + 5$ .

1. Déterminer la multiplicité de la racine $1$ de $P$ , puis factoriser $P$ dans $\mathbb{R}[X]$ .

2. Montrer que $\big((X - 1)^{4}, (X - 1)^{3}, (X - 1)^{2}, X - 1, 1\big)$ est une base de $\mathbb{R}_{4}[X]$ , et donner les coordonnées de $P$ dans cette base.

Corrigé

1. On a $P(1) = 0$ , $P'(1) = 4 + 6 - 4 - 6 = 0$ et $P''(1) = 12 + 12 - 4 = 20 \neq 0$ : $1$ est racine double. La division par $(X - 1)^{2}$ donne le quotient $X^{2} + 4X + 5$ , de discriminant $-4 < 0$ . $\boxed{P = (X - 1)^{2}(X^{2} + 4X + 5)}$

2. La famille est à degrés échelonnés, donc une base (proposition 10 du chapitre 14). La formule de Taylor en $1$ donne les coordonnées $\frac{P^{(k)}(1)}{k!}$ , soit $0$ , $0$ , $10$ , $\frac{P'''(1)}{6} = \frac{24 + 12}{6} = 6$ et $1$ . $\boxed{P = (X - 1)^{4} + 6(X - 1)^{3} + 10(X - 1)^{2}}$

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Dans l'édifice

Dimension d'un espace vectoriel Tout espace vectoriel a une base L'anneau A[X], degré et intégrité

Thèmes

espaces de dimension finie, bases, espaces de polynômes

Notions

espace de dimension finie, dimension, base (algèbre linéaire), théorème de la base incomplète, multiplicité d'une racine