Exercice 3

Pour $E$, la méthode du pivot montre que les quatre vecteurs sont libres, une relation $\sum \lambda_{k}x_{k} = 0$ n'ayant que la solution nulle. Quatre vecteurs libres de $\mathbb{R}^{4}$ forment une base, donc $E = \mathbb{R}^{4}$. Pour $F$, la seconde équation donne $z = \frac{3y + t}{2}$, puis la première $x = \frac{2y + z - 2t}{3} = \frac{7y - 3t}{6}$ ; avec $y = 6$, $t = 0$ puis $y = 0$, $t = 6$, on obtient deux vecteurs non colinéaires, et $\dim F = 4 - 2 = 2$ par la proposition 9, les deux équations n'étant pas proportionnelles. $$\boxed{E = \mathbb{R}^{4}, \ \dim E = 4 \qquad F = \mathrm{Vect}\big((7, 6, 9, 0), (-3, 0, 3, 6)\big), \ \dim F = 2}$$