Exercice 2

(i) Les vecteurs $u$, $v$, $w$ sont libres : si $au + bv + cw = 0$, les deux premières coordonnées donnent $a + c = 0$ et $b + 2c = 0$, puis la troisième $2a + 2b = 0$, soit $-2c - 4c = 0$, donc $c = 0$ et $a = b = 0$. On essaie d'ajouter $e_{2}$ : si $au + bv + cw + de_{2} = 0$, les première, troisième et quatrième coordonnées donnent $a + c = 0$, $2a + 2b = 0$, $3a + 3b + 3c = 0$, d'où $c = 0$, $a = 0$, $b = 0$, puis $d = 0$. $$\boxed{(u, v, w, e_{2}) \text{ est une base de } \mathbb{R}^{4}}$$

(ii) Les vecteurs $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires. On vérifie de même que $(u, v, e_{1}, e_{2})$ est libre : les troisième et quatrième coordonnées de $au + bv + ce_{1} + de_{2}$ sont $a + b$ et $-a + b$, d'où $a = b = 0$, puis $c = d = 0$. $$\boxed{(u, v, e_{1}, e_{2}) \text{ est une base de } \mathbb{R}^{4}}$$ À retenir. Quatre vecteurs libres dans un espace de dimension $4$ forment une base : on n'a pas à vérifier qu'ils engendrent $\mathbb{R}^{4}$.