Exercice 1

1. Dans $\mathbb{R}^{2}$, de dimension $2$, deux vecteurs forment une base si et seulement s'ils ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si $1 \times 3 - t \times t \neq 0$. Dans $\mathbb{R}^{3}$, on résout $a(1, 0, t) + b(1, 1, t) + c(t, 0, 1) = 0$ : la deuxième coordonnée donne $b = 0$, puis $a + ct = 0$ et $at + c = 0$, d'où $c(1 - t^{2}) = 0$. La famille est libre, donc une base (théorème 4), si et seulement si $t^{2} \neq 1$. $$\boxed{\text{base de } \mathbb{R}^{2} \iff t \neq \pm\sqrt{3}, \qquad \text{base de } \mathbb{R}^{3} \iff t \neq \pm 1}$$

2. Si $au_{1} + bu_{2} + cu_{3} = 0$, alors $b + c = a + c = a + b = 0$, donc $a = b = c = 0$ : trois vecteurs libres de $\mathbb{R}^{3}$ forment une base. On cherche $(1, 1, 1) = au_{1} + bu_{2} + cu_{3}$ : $b + c = a + c = a + b = 1$, d'où $a + b + c = \frac{3}{2}$, puis $a = b = c = \frac{1}{2}$. $$\boxed{(1, 1, 1) = \frac{1}{2}(u_{1} + u_{2} + u_{3})}$$