Exercice 31

1. On applique le théorème du rang à la restriction $u_{|V} : V \to F$, dont le noyau est $V \cap \mathrm{Ker}\, u$ et l'image $u(V)$. $$\boxed{\dim u(V) = \dim V - \dim(V \cap \mathrm{Ker}\, u)}$$

2. Le sous-espace $V = u^{-1}(W)$ contient $\mathrm{Ker}\, u$, puisque $0 \in W$. La restriction $u_{|V}$ a pour noyau $\mathrm{Ker}\, u$ et pour image $W \cap \operatorname{Im} u$ : un vecteur de $W$ est atteint si et seulement s'il est dans $\operatorname{Im} u$, et alors ses antécédents sont dans $V$. Le théorème du rang donne $$\boxed{\dim u^{-1}(W) = \dim(W \cap \operatorname{Im} u) + \dim\mathrm{Ker}\, u}$$