Exercice 32

1. On prend $E' = F$ et pour $\varphi$ l'injection canonique $x \mapsto x$ de $F$ dans $E$.

2. Soit $S$ un supplémentaire de $G$ (théorème 6). On prend $E'' = E$ et pour $\psi$ le projecteur sur $S$ parallèlement à $G$, dont le noyau est $G$.

3. Le théorème du rang impose $\dim F + \dim G = \dim E$. Réciproquement, si cette condition est remplie, un supplémentaire $S$ de $G$ a la même dimension que $F$ ; soit $\theta : S \to F$ un isomorphisme (théorème 11) et $p$ le projecteur sur $S$ parallèlement à $G$. Alors $u = \theta \circ p$ a pour noyau $\mathrm{Ker}\, p = G$, puisque $\theta$ est injectif, et pour image $\theta(S) = F$. $$\boxed{\exists\, u \in \mathcal{L}(E), \ \operatorname{Im} u = F \text{ et } \mathrm{Ker}\, u = G \iff \dim F + \dim G = \dim E}$$