Exercice 33

$\triangleright$ (i) $\Rightarrow$ (ii). Si $u^{2} = 0$, alors $\operatorname{Im} u \subset \mathrm{Ker}\, u$. Soit $p$ un projecteur d'image $\operatorname{Im} u$, par exemple le projecteur sur $\operatorname{Im} u$ parallèlement à un supplémentaire. Comme $p$ fixe les vecteurs de son image, $p \circ u = u$ ; et $u \circ p = 0$, puisque $\operatorname{Im} p = \operatorname{Im} u \subset \mathrm{Ker}\, u$.

$\triangleright$ (ii) $\Rightarrow$ (iii). On a $p \circ u - u \circ p = u - 0 = u$.

$\triangleright$ (iii) $\Rightarrow$ (i). Composons $pu - up = u$ à gauche par $p$ : comme $p^{2} = p$, on obtient $pu - pup = pu$, donc $pup = 0$. Composons-la à droite par $p$ : $pup - up = up$, donc $up = 0$, puis $pu = u$. Enfin $$u^{2} = u \circ (p \circ u) = (u \circ p) \circ u = 0.$$