Exercice 34

1. On a $\mathrm{Ker}\,(a \circ b) = b^{-1}(\mathrm{Ker}\, a)$. L'exercice 31, question 2, donne $$\dim\mathrm{Ker}\,(a \circ b) = \dim(\mathrm{Ker}\, a \cap \operatorname{Im} b) + \dim\mathrm{Ker}\, b \leqslant \dim\mathrm{Ker}\, a + \dim\mathrm{Ker}\, b.$$

2. On a $\operatorname{Im}(g \circ f) = g(\operatorname{Im} f)$, et l'exercice 31, question 1, appliqué à $g$ et à $V = \operatorname{Im} f$, donne la première égalité. Comme $\dim(\operatorname{Im} f \cap \mathrm{Ker}\, g) \leqslant \dim\mathrm{Ker}\, g = \dim F - \mathrm{rg} g$, on en déduit $$\boxed{\mathrm{rg}(g \circ f) = \mathrm{rg} f - \dim(\operatorname{Im} f \cap \mathrm{Ker}\, g) \geqslant \mathrm{rg} f + \mathrm{rg} g - \dim F}$$ C'est l'inégalité de Sylvester ; elle complète la majoration $\mathrm{rg}(g \circ f) \leqslant \min(\mathrm{rg} f, \mathrm{rg} g)$ de la proposition 7.

3. Par le théorème du rang, $\dim\mathrm{Ker}\, a + \dim\mathrm{Ker}\, b = 2\dim E - \mathrm{rg} a - \mathrm{rg} b > \dim E$, et l'exercice 21 donne $\mathrm{Ker}\, a \cap \mathrm{Ker}\, b \neq \{0\}$.