Exercice 54

1. Supposons $\alpha$ algébrique, et soit $P \in \mathbb{Q}[X]$ non nul tel que $P(\alpha) = 0$. Le polynôme $P$ n'est pas constant, et, quitte à le diviser par son coefficient dominant, qui est rationnel, on peut l'écrire $P = X^{d} + \sum_{i = 0}^{d - 1} a_{i}X^{i}$ avec $d \geqslant 1$. Soit $W = \mathrm{Vect}_{\mathbb{Q}}(1, \alpha, \dots, \alpha^{d - 1})$. Montrons par récurrence forte que $\alpha^{n} \in W$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. C'est clair si $n < d$ ; si $n \geqslant d$, la relation $P(\alpha) = 0$ donne $$\alpha^{n} = \alpha^{n - d}\alpha^{d} = -\sum_{i = 0}^{d - 1} a_{i}\,\alpha^{n - d + i},$$ et les exposants $n - d + i$ sont strictement inférieurs à $n$, donc chaque terme appartient à $W$ par hypothèse de récurrence. Ainsi $\mathbb{Q}[\alpha] \subset W$, et l'inclusion réciproque est claire : $\mathbb{Q}[\alpha] = W$ est de dimension finie, au plus $d$.

Réciproquement, si $\mathbb{Q}[\alpha]$ est de dimension $m$, les $m + 1$ vecteurs $1, \alpha, \dots, \alpha^{m}$ sont liés sur $\mathbb{Q}$ (théorème 1) : il existe des rationnels $\lambda_{0}, \dots, \lambda_{m}$ non tous nuls tels que $\sum_{k} \lambda_{k}\alpha^{k} = 0$, et le polynôme $\sum_{k} \lambda_{k}X^{k}$, non nul, annule $\alpha$. $$\boxed{\alpha \text{ algébrique} \iff \dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}[\alpha] < +\infty, \qquad \mathbb{Q}[\alpha] = \mathrm{Vect}_{\mathbb{Q}}(1, \alpha, \dots, \alpha^{d - 1})}$$

Piège. La famille $(1, \alpha, \dots, \alpha^{d - 1})$ engendre $\mathbb{Q}[\alpha]$, mais n'en est une base que si $\alpha$ n'annule aucun polynôme non nul de degré inférieur à $d$ : la dimension de $\mathbb{Q}[\alpha]$ est seulement majorée par $d$. Pour $\alpha = 1$ et $P = X^{2} - 1$, on a $\mathbb{Q}[\alpha] = \mathbb{Q}$, de dimension $1$.

2.(a) On note $P = X^{p} + \sum_{i < p} a_{i}X^{i}$ et $Q = X^{q} + \sum_{j < q} b_{j}X^{j}$ les polynômes annulant $\alpha$ et $\beta$. Par linéarité, il suffit de vérifier que $\alpha\cdot\alpha^{i}\beta^{j}$ et $\beta\cdot\alpha^{i}\beta^{j}$ appartiennent à $V$ pour $i < p$ et $j < q$. Si $i + 1 < p$, le produit $\alpha^{i + 1}\beta^{j}$ est l'un des générateurs de $V$. Si $i + 1 = p$, la relation $P(\alpha) = 0$ donne $$\alpha^{p}\beta^{j} = -\sum_{i' = 0}^{p - 1} a_{i'}\,\alpha^{i'}\beta^{j} \in V.$$ Le cas de $\beta$ est symétrique. $$\boxed{\alpha V \subset V \quad\text{et}\quad \beta V \subset V}$$

2.(b) Posons $\sigma = \alpha + \beta$. Pour $v \in V$, on a $\sigma v = \alpha v + \beta v \in V$. Comme $1 = \alpha^{0}\beta^{0} \in V$, une récurrence immédiate donne $\sigma^{k} \in V$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. L'espace $V$ est engendré par $pq$ vecteurs, donc de dimension au plus $pq$ (théorème 4), et les $pq + 1$ vecteurs $1, \sigma, \dots, \sigma^{pq}$ de $V$ sont liés sur $\mathbb{Q}$ (théorème 1). Une relation de dépendance fournit un polynôme non nul de degré au plus $pq$ qui annule $\sigma$. Le même raisonnement s'applique à $\pi = \alpha\beta$, puisque $\pi v = \alpha(\beta v) \in V$ pour tout $v \in V$. $$\boxed{\alpha + \beta \text{ et } \alpha\beta \text{ sont algébriques, et annulent un polynôme non nul de degré au plus } pq}$$

2.(c) Notons $\mathbb{A}$ l'ensemble des nombres algébriques. Il contient $1$, racine de $X - 1$, et il est stable par somme et par produit d'après la question précédente. Si $P(\alpha) = 0$ avec $P$ non nul, le polynôme non nul $P(-X)$ annule $-\alpha$. Enfin, si $\alpha \neq 0$ et $P = \sum_{k = 0}^{d} a_{k}X^{k}$ avec $a_{d} \neq 0$, le polynôme $\widetilde{P} = \sum_{k = 0}^{d} a_{k}X^{d - k}$ a pour coefficient constant $a_{d} \neq 0$, donc n'est pas nul, et $$\widetilde{P}\Big(\frac{1}{\alpha}\Big) = \sum_{k = 0}^{d} a_{k}\,\alpha^{k - d} = \frac{P(\alpha)}{\alpha^{d}} = 0.$$

3.(a) Soit $a$, $b$, $c$, $d$ des rationnels tels que $a + b\sqrt{2} + \sqrt{3}\,(c + d\sqrt{2}) = 0$. Supposons $c + d\sqrt{2} \neq 0$. Alors $c - d\sqrt{2} \neq 0$ aussi : sinon $d \neq 0$, puisque $c = d = 0$ est exclu, et $\sqrt{2} = \frac{c}{d}$ serait rationnel. On multiplie par la quantité conjuguée : $$\sqrt{3} = -\frac{(a + b\sqrt{2})(c - d\sqrt{2})}{c^{2} - 2d^{2}} = x + y\sqrt{2}, \qquad x = \frac{2bd - ac}{c^{2} - 2d^{2}}, \quad y = \frac{ad - bc}{c^{2} - 2d^{2}},$$ avec $x$, $y \in \mathbb{Q}$. En élevant au carré, $3 = x^{2} + 2y^{2} + 2xy\sqrt{2}$. Si $xy \neq 0$, cela exprime $\sqrt{2}$ comme un rationnel ; donc $xy = 0$. Si $y = 0$, alors $\sqrt{3} = x$ est rationnel ; si $x = 0$, alors $\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3} = 2y$ est rationnel. Les deux cas sont exclus, donc $c + d\sqrt{2} = 0$, ce qui force $c = d = 0$ par irrationalité de $\sqrt{2}$, puis $a + b\sqrt{2} = 0$ et $a = b = 0$. $$\boxed{(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}) \text{ est libre sur } \mathbb{Q}}$$

3.(b) Soit $W = \mathrm{Vect}_{\mathbb{Q}}(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})$, de dimension $4$ par la question précédente. C'est l'espace $V$ de la question 2 pour $\alpha = \sqrt{2}$ et $\beta = \sqrt{3}$, racines de $X^{2} - 2$ et $X^{2} - 3$, avec $p = q = 2$ : toutes les puissances de $\gamma$ appartiennent à $W$, donc $\mathbb{Q}[\gamma] \subset W$. Le calcul donne $$\gamma^{2} = 5 + 2\sqrt{6}, \qquad \gamma^{3} = 11\sqrt{2} + 9\sqrt{3}, \qquad \gamma^{4} = 49 + 20\sqrt{6}.$$ Si $\lambda_{0} + \lambda_{1}\gamma + \lambda_{2}\gamma^{2} + \lambda_{3}\gamma^{3} = 0$ avec des $\lambda_{k}$ rationnels, la liberté de $(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})$ donne $$\lambda_{0} + 5\lambda_{2} = 0, \qquad \lambda_{1} + 11\lambda_{3} = 0, \qquad \lambda_{1} + 9\lambda_{3} = 0, \qquad 2\lambda_{2} = 0,$$ d'où $\lambda_{2} = \lambda_{0} = 0$, puis $\lambda_{3} = \lambda_{1} = 0$. La famille $(1, \gamma, \gamma^{2}, \gamma^{3})$ est donc libre : aucun polynôme non nul de degré au plus $3$ n'annule $\gamma$, et $\mathbb{Q}[\gamma]$, qui contient quatre vecteurs libres, est de dimension au moins $4$. Comme $\mathbb{Q}[\gamma] \subset W$ et $\dim W = 4$, le théorème 5 donne l'égalité. Enfin $10\gamma^{2} - 1 = 49 + 20\sqrt{6} = \gamma^{4}$. $$\boxed{\mathbb{Q}[\gamma] = \mathrm{Vect}_{\mathbb{Q}}(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}), \qquad \gamma^{4} - 10\gamma^{2} + 1 = 0}$$

3.(c) Comme $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ appartiennent à $W = \mathbb{Q}[\gamma]$, de tels polynômes existent. Pour les trouver, on élimine une racine carrée dans $\gamma^{3}$ : on a $\gamma^{3} - 9\gamma = 11\sqrt{2} + 9\sqrt{3} - 9\sqrt{2} - 9\sqrt{3} = 2\sqrt{2}$, et de même $11\gamma - \gamma^{3} = 2\sqrt{3}$. $$\boxed{\sqrt{2} = \frac{\gamma^{3} - 9\gamma}{2}, \qquad \sqrt{3} = \frac{11\gamma - \gamma^{3}}{2}}$$ Le résultat surprend : le seul nombre $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ permet de retrouver séparément $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ par des opérations rationnelles. Le plus petit sous-corps de $\mathbb{R}$ contenant $\gamma$ contient donc $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$.

4. Le réel $\alpha = \sqrt[3]{2}$ annule $X^{3} - 2$, et $\beta = \sqrt{3}$ annule $X^{2} - 3$. La question 2.(b), avec $p = 3$ et $q = 2$, donne directement le résultat. $$\boxed{\sqrt[3]{2} + \sqrt{3} \text{ annule un polynôme non nul de } \mathbb{Q}[X] \text{ de degré au plus } 6}$$ Le calcul effectif, long à la main, conduit à $X^{6} - 9X^{4} - 4X^{3} + 27X^{2} - 36X - 23$.

À retenir. L'argument de dimension prouve l'existence d'une relation polynomiale sans la construire : $pq + 1$ vecteurs dans un espace de dimension au plus $pq$ sont liés. C'est le même mécanisme qu'à l'exercice 51, transposé sur le corps $\mathbb{Q}$.