Exercice 55

1. Chaque carré est contenu dans $R$, puisque $R$ en est la réunion ; les réels $\alpha_{k}$ et $\alpha_{k} + c_{k}$ appartiennent donc à $[0, a]$, et l'on a $x_{0} = 0$ et $x_{m} = a$. On note de même $y_{0} = 0 < y_{1} < \cdots < y_{n} = b$ les ordonnées, et $P_{ij} = [x_{i - 1}, x_{i}] \times [y_{j - 1}, y_{j}]$ les petits rectangles, pour $1 \leqslant i \leqslant m$ et $1 \leqslant j \leqslant n$. Tous ces nombres appartiennent à $V$.

$\triangleright$ Développement de $\mu_{f}$. Soit $P = [x_{i_{0}}, x_{i_{1}}] \times [y_{j_{0}}, y_{j_{1}}]$ un rectangle dont les sommets sont des points de la grille. Par télescopage, quelle que soit la fonction $f$, $$f(x_{i_{1}}) - f(x_{i_{0}}) = \sum_{i = i_{0} + 1}^{i_{1}} \big(f(x_{i}) - f(x_{i - 1})\big),$$ et de même pour les ordonnées. En développant le produit, $\mu_{f}(P)$ est la somme des $\mu_{f}(P_{ij})$ pour $i_{0} < i \leqslant i_{1}$ et $j_{0} < j \leqslant j_{1}$, c'est-à-dire pour les petits rectangles contenus dans $P$. Cela s'applique à $R$ et à chaque carré $C_{k}$, dont les sommets sont des points de la grille.

$\triangleright$ Chaque petit rectangle est dans un seul carré. Soit $(u, v)$ le centre de $P_{ij}$. Il appartient à $R$, donc à un carré $C_{k}$. Les nombres $\alpha_{k}$ et $\alpha_{k} + c_{k}$ appartiennent à la grille, alors que $u$, strictement compris entre $x_{i - 1}$ et $x_{i}$, n'y appartient pas ; donc $\alpha_{k} < u < \alpha_{k} + c_{k}$, et comme aucun point de la grille n'est strictement compris entre $x_{i - 1}$ et $x_{i}$, on obtient $\alpha_{k} \leqslant x_{i - 1}$ et $x_{i} \leqslant \alpha_{k} + c_{k}$. Le même raisonnement sur $v$ montre que $P_{ij} \subset C_{k}$. Si $P_{ij}$ était contenu dans deux carrés $C_{k}$ et $C_{l}$, avec $k \neq l$, son centre appartiendrait aux intérieurs de ces deux carrés, qui sont disjoints.

$\triangleright$ Conclusion. En regroupant les petits rectangles selon le carré qui les contient, $$\sum_{k = 1}^{s} \mu_{f}(C_{k}) = \sum_{k = 1}^{s}\ \sum_{P_{ij} \subset C_{k}} \mu_{f}(P_{ij}) = \sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n} \mu_{f}(P_{ij}) = \mu_{f}(R).$$

$$\boxed{\mu_{f}(R) = \sum_{k = 1}^{s} \mu_{f}(C_{k}) \text{ pour toute fonction } f : V \to \mathbb{R}}$$ Avec $f = \mathrm{id}$, $\mu_{f}$ est l'aire, et l'on retrouve que l'aire de $R$ est la somme des aires des carrés. Le résultat vaut pour toute fonction $f$, ce que la suite exploite.

2. L'espace $V$ est engendré par $3s + 2$ réels, donc de dimension finie sur $\mathbb{Q}$. La famille $(a, b)$ est libre sur $\mathbb{Q}$ : si $\lambda a + \nu b = 0$ avec $\lambda$, $\nu$ rationnels non tous deux nuls, alors $\lambda \neq 0$, sinon $\nu b = 0$ avec $b \neq 0$, et $\frac{a}{b} = -\frac{\nu}{\lambda}$ serait rationnel. On la complète en une base $(a, b, w_{3}, \dots, w_{d})$ de $V$ (théorème 2), et l'on définit $f$ comme l'unique application $\mathbb{Q}$-linéaire de $V$ dans $\mathbb{Q}$ telle que $f(a) = 1$, $f(b) = -1$ et $f(w_{i}) = 0$ (théorème 4 du chapitre 14).

Par $\mathbb{Q}$-linéarité, $f(\alpha_{k} + c_{k}) - f(\alpha_{k}) = f(c_{k})$, et de même pour $\beta_{k}$ : on a donc $\mu_{f}(C_{k}) = f(c_{k})^{2} \geqslant 0$. D'autre part, $f(0) = 0$ et $\mu_{f}(R) = f(a)f(b) = -1$. La question 1 donne alors $$-1 = \sum_{k = 1}^{s} f(c_{k})^{2} \geqslant 0,$$ ce qui est absurde. $$\boxed{\text{Si un rectangle est pavé par des carrés, le rapport de ses côtés est rationnel.}}$$

Piège. Une application $\mathbb{R}$-linéaire de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est de la forme $x \mapsto \kappa x$, et donne $\mu_{f} = \kappa^{2} \times \text{aire}$ : on n'obtient aucune contradiction. Toute la force de l'argument vient de ce que $f$ n'est que $\mathbb{Q}$-linéaire, ce qui permet d'imposer $f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires ; une telle fonction n'est ni continue ni monotone. Il suffit de la construire sur l'espace $V$ de dimension finie, et non sur $\mathbb{R}$ tout entier, qui est de dimension infinie sur $\mathbb{Q}$.

3. D'après la question 2, $b = ra$ avec $r \in \mathbb{Q}$. Supposons $\frac{c_{k}}{a} \notin \mathbb{Q}$ pour un certain $k$. Comme à la question 2, la famille $(a, c_{k})$ est libre sur $\mathbb{Q}$, et il existe une application $\mathbb{Q}$-linéaire $f : V \to \mathbb{Q}$ telle que $f(a) = 0$ et $f(c_{k}) = 1$. Alors $f(b) = rf(a) = 0$, donc $\mu_{f}(R) = 0$, alors que $\sum_{l} \mu_{f}(C_{l}) \geqslant f(c_{k})^{2} = 1$ : c'est absurde.

Réciproquement, supposons que $\frac{a}{b} = \frac{p}{q}$, avec $p$, $q \in \mathbb{N}^{*}$, et posons $c = \frac{a}{p} = \frac{b}{q}$. Les $pq$ carrés $[ic, (i + 1)c] \times [jc, (j + 1)c]$, pour $0 \leqslant i < p$ et $0 \leqslant j < q$, recouvrent $R$ et ont des intérieurs deux à deux disjoints. $$\boxed{\frac{c_{k}}{a} \in \mathbb{Q} \text{ pour tout } k, \qquad R \text{ pavable par des carrés} \iff \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}}$$

À retenir. Le rectangle $[0, \sqrt{2}] \times [0, 1]$ ne peut pas être pavé par un nombre fini de carrés, si petits soient-ils. Ce théorème de Max Dehn (Mathematische Annalen, 1903) se démontre en regardant $\mathbb{R}$ comme un espace vectoriel sur $\mathbb{Q}$ : un problème de géométrie se résout par le théorème de la base incomplète.