Exercice 56

Idée. On réécrit l'inégalité $\mathrm{rg}(vw) - \mathrm{rg}(uvw) \leqslant \mathrm{rg}(v) - \mathrm{rg}(uv)$ : elle compare la perte de rang causée par $u$ sur deux sous-espaces emboîtés, que l'exercice 34 mesure exactement.

L'exercice 34, question 2, appliqué à $u$ après $v \circ w$, puis à $u$ après $v$, donne $$\mathrm{rg}(vw) - \mathrm{rg}(uvw) = \dim(\operatorname{Im} vw \cap \mathrm{Ker}\, u), \qquad \mathrm{rg}(v) - \mathrm{rg}(uv) = \dim(\operatorname{Im} v \cap \mathrm{Ker}\, u).$$ Comme $\operatorname{Im}(v \circ w) \subset \operatorname{Im} v$, la première dimension est inférieure à la seconde. $$\boxed{\mathrm{rg}(u \circ v) + \mathrm{rg}(v \circ w) \leqslant \mathrm{rg}(v) + \mathrm{rg}(u \circ v \circ w)}$$ Avec $v = \mathrm{id}_{E}$, on retrouve l'inégalité de Sylvester $\mathrm{rg} u + \mathrm{rg} w - \dim E \leqslant \mathrm{rg}(u \circ w)$.