Exercice 57

Idée. On ramène tout triplet à une forme standard : $F_{1}$, $F_{2}$ et le graphe d'un isomorphisme de $F_{1}$ sur $F_{2}$.

Comme $F_{1} \cap F_{2} = \{0\}$ et $\dim F_{1} + \dim F_{2} = 2r$, on a $E = F_{1} \oplus F_{2}$. De même, $F_{3}$ est un supplémentaire de $F_{2}$, donc, par l'exercice 72 du chapitre 14, le graphe $\{x + \theta(x) \mid x \in F_{1}\}$ d'une application linéaire $\theta : F_{1} \to F_{2}$. Si $\theta(x) = 0$, alors $x \in F_{3} \cap F_{1} = \{0\}$ : $\theta$ est injective, donc un isomorphisme, les dimensions étant égales. Soit $(e_{1}, \dots, e_{r})$ une base de $F_{1}$. Alors $(\theta(e_{i}))$ est une base de $F_{2}$ (proposition 6), $(e_{i}, \theta(e_{i}))$ une base de $E$, et $(e_{i} + \theta(e_{i}))$ une base de $F_{3}$.

Pour un second triplet, on obtient de même $\theta'$ et une base $(e_{i}')$ de $F_{1}'$. L'automorphisme $\varphi$ défini par $\varphi(e_{i}) = e_{i}'$ et $\varphi(\theta(e_{i})) = \theta'(e_{i}')$ envoie une base sur une base ; il envoie $F_{1}$ sur $F_{1}'$, $F_{2}$ sur $F_{2}'$, et $e_{i} + \theta(e_{i})$ sur $e_{i}' + \theta'(e_{i}')$, donc $F_{3}$ sur $F_{3}'$. $$\boxed{\text{Tous ces triplets sont équivalents.}}$$ Ce n'est plus vrai pour quatre sous-espaces : dans $\mathbb{R}^{2}$, quatre droites distinctes ne sont pas toujours équivalentes, car leur birapport est un invariant.