Exercice 44

1. On a $H \cap H' \subset H$, donc $\dim(H \cap H') \leqslant n - 1$, et $\dim(H \cap H') \geqslant n - 2$ par le théorème 13. Si $H = H'$, la dimension vaut $n - 1$. Sinon, $H \cap H'$ est un sous-espace strict de $H$, de dimension au plus $n - 2$ (théorème 5). $$\boxed{\dim(H \cap H') = n - 2 \iff H \neq H' \iff \text{les équations de } H \text{ et } H' \text{ ne sont pas proportionnelles}}$$

2. La première équation ne contient pas $e$, et la seconde le contient avec le coefficient $5$ : si la seconde forme était $\lambda$ fois la première, on aurait $5 = 0$. Les deux hyperplans sont distincts. $$\boxed{\dim = 9 - 2 = 7}$$

3. Les formes $x - 2y$, $y + z$ et $t$ s'annulent en $v = (2, 1, -1, 0)$, et elles sont libres, leurs coefficients $(1, -2, 0, 0)$, $(0, 1, 1, 0)$, $(0, 0, 0, 1)$ étant échelonnés. L'intersection est de dimension $4 - 3 = 1$ (proposition 9) et contient $v$. $$\boxed{\mathrm{Vect}(v) = \{x - 2y = 0\} \cap \{y + z = 0\} \cap \{t = 0\}}$$