Exercice 45

L'application $u : x \mapsto \big(f_{1}(x), \dots, f_{n}(x)\big)$ est linéaire de $E$ dans $\mathbb{K}^{n}$, et l'hypothèse dit exactement que $\mathrm{Ker}\, u \subset \mathrm{Ker}\, f$. L'exercice 37 fournit $w \in \mathcal{L}(\mathbb{K}^{n}, \mathbb{K})$ tel que $f = w \circ u$. Une forme linéaire sur $\mathbb{K}^{n}$ s'écrit $w(y) = c_{1}y_{1} + \cdots + c_{n}y_{n}$, avec $c_{i} = w(e_{i})$. $$\boxed{f = c_{1}f_{1} + \cdots + c_{n}f_{n}}$$ C'est la forme générale du résultat sur les équations proportionnelles (proposition 23 du chapitre 14), qui correspond au cas $n = 1$.