Exercice 46

Les deux membres sont linéaires en $P$ ; il suffit d'écrire l'égalité sur une base de $\mathbb{R}_{2n + 1}[X]$. Pour $P = X^{2j + 1}$, les deux membres sont nuls, par imparité. Pour $P = 1$, les deux membres valent $2$. Pour $P = X^{2j}$, $1 \leqslant j \leqslant n$, la condition s'écrit $$\sum_{k = 1}^{n} c_{k}\,k^{2j} = \frac{1}{2j + 1}.$$ C'est l'équation $\Phi(c) = b$, où $b = \big(\frac{1}{2j + 1}\big)_{1 \leqslant j \leqslant n}$ et où $\Phi : c \mapsto \Big(\sum_{k} c_{k}k^{2j}\Big)_{1 \leqslant j \leqslant n}$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^{n}$. Montrons que $\Phi$ est injectif. Si $\Phi(c) = 0$, alors $\sum_{k} c_{k}Q(k^{2}) = 0$ pour tout polynôme $Q = \sum_{j = 1}^{n} q_{j}Y^{j}$ sans terme constant et de degré au plus $n$. Pour $m \in [\![1\,;n]\!]$, le polynôme $Q_{m} = Y\prod_{k \neq m}(Y - k^{2})$ est de ce type, et s'annule en $k^{2}$ pour $k \neq m$, mais pas en $m^{2}$ : donc $c_{m} = 0$. L'endomorphisme $\Phi$ est injectif, donc bijectif (théorème 10), d'où l'existence et l'unicité. Pour $n = 2$, on résout $c_{1} + 4c_{2} = \frac{1}{3}$ et $c_{1} + 16c_{2} = \frac{1}{5}$. $$\boxed{c_{1} = \frac{17}{45}, \qquad c_{2} = -\frac{1}{90}}$$ On a vérifié l'égalité obtenue sur $1, X, \dots, X^{5}$. Cette formule de quadrature est exacte sur $\mathbb{R}_{5}[X]$ en n'utilisant que cinq valeurs de $P$.