Exercice 47

1. Posons $L_{a} = \frac{(X - b)(X - c)}{(a - b)(a - c)}$, et de même $L_{b}$ et $L_{c}$. Le polynôme $L_{a} + L_{b} + L_{c} - 1$, de degré au plus $2$, s'annule en $a$, $b$, $c$, donc est nul : $\mathrm{id} = L_{a}(f) + L_{b}(f) + L_{c}(f)$. De plus, $(f - a\,\mathrm{id}) \circ L_{a}(f)$ est un multiple de $(f - a\,\mathrm{id})(f - b\,\mathrm{id})(f - c\,\mathrm{id}) = 0$, donc $\operatorname{Im} L_{a}(f) \subset E_{a}$. Tout $x = L_{a}(f)(x) + L_{b}(f)(x) + L_{c}(f)(x)$ est ainsi dans $E_{a} + E_{b} + E_{c}$. Si $x_{a} + x_{b} + x_{c} = 0$, avec $x_{\lambda} \in E_{\lambda}$, on applique $(f - b\,\mathrm{id})(f - c\,\mathrm{id})$ : on obtient $(a - b)(a - c)x_{a} = 0$, donc $x_{a} = 0$, et de même $x_{b} = x_{c} = 0$. $$\boxed{E = E_{a} \oplus E_{b} \oplus E_{c}}$$

2. Si $u \in F$, la suite décalée vérifie la même relation : $f$ est un endomorphisme de $F$, et $f^{3} = f + 6\,\mathrm{id}$. Or $X^{3} - X - 6 = (X - 2)(X^{2} + 2X + 3)$, de racines $2$ et $\rho$, $\bar\rho$, avec $\rho = -1 + i\sqrt{2}$. La question 1 s'applique. Le sous-espace $E_{\lambda}$ est formé des suites de $F$ vérifiant $u_{n + 1} = \lambda u_{n}$, c'est-à-dire des multiples de $(\lambda^{n})$, qui appartient à $F$ puisque $\lambda$ est racine. $$\boxed{\text{Base de } F : \big((2^{n}), ((-1 + i\sqrt{2})^{n}), ((-1 - i\sqrt{2})^{n})\big)}$$

3. Soit $S$ l'espace des solutions complexes ; une solution $y$ vérifie $y''' = y'' - 2y$, donc est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, et $y'$ est encore solution : $D : y \mapsto y'$ est un endomorphisme de $S$, et $D^{3} - D^{2} + 2\,\mathrm{id} = 0$. Or $X^{3} - X^{2} + 2 = (X + 1)(X^{2} - 2X + 2)$, de racines $-1$ et $1 \pm i$. Par le chapitre 6, $\mathrm{Ker}\,(D - \lambda\,\mathrm{id})$ est formé des multiples de $x \mapsto e^{\lambda x}$, qui est solution. $$\boxed{\text{Base de } S : \big(x \mapsto e^{-x},\ x \mapsto e^{(1 + i)x},\ x \mapsto e^{(1 - i)x}\big)}$$ Les fonctions $e^{x}\cos x$ et $e^{x}\sin x$ engendrent le même plan que $e^{(1 \pm i)x}$, ce qui donne une base formée de fonctions réelles. On a ainsi résolu une équation d'ordre $3$ sans disposer d'un théorème de Cauchy à cet ordre.