Exercice 48

1. Faux. Les vecteurs doivent de plus être libres : la famille $(x, x, \dots, x)$ n'est pas une base.

2. Faux. Dans $\mathbb{R}^{2}$, avec $F = G$ une droite, $\dim F + \dim G = 2$ mais $F \cap G = F \neq \{0\}$. Il faut en plus $F \cap G = \{0\}$ (proposition 4).

3. Vrai. C'est le théorème 6, obtenu par le théorème de la base incomplète.

4. Faux. Les plans $\mathrm{Vect}(e_{1}, e_{2})$ et $\mathrm{Vect}(e_{3}, e_{4})$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^{4}$. Deux plans se coupent selon une droite au moins dans $\mathbb{R}^{3}$, car $2 + 2 > 3$ (exercice 21), mais pas dans $\mathbb{R}^{4}$.

5. Vrai. En dimension finie, un endomorphisme injectif est bijectif (théorème 10).

6. Vrai. On a $\operatorname{Im}(u + v) \subset \operatorname{Im} u + \operatorname{Im} v$, et $\dim(\operatorname{Im} u + \operatorname{Im} v) \leqslant \mathrm{rg} u + \mathrm{rg} v$ (proposition 5).

7. Vrai. On a $\dim F = \mathrm{rg} u = \dim E - \dim\mathrm{Ker}\, u \leqslant \dim E$ par le théorème du rang.

8. Vrai. C'est l'exercice 44, question 1.

9. Vrai. L'égalité $u \circ v = 0$ signifie $\operatorname{Im} v \subset \mathrm{Ker}\, u$, d'où $\mathrm{rg} v \leqslant n - \mathrm{rg} u$.

10. Faux. On aurait $3 = \dim\mathrm{Ker}\, u + \mathrm{rg} u = 2\mathrm{rg} u$, qui est pair (exercice 38).

Piège. Les assertions 2 et 4 confondent les conditions sur les dimensions, qui sont nécessaires, avec la condition sur l'intersection, qui reste indispensable.