Exercice 49

1. Le noyau de $D$ est formé des constantes, et son image est $\mathbb{C}_{n - 1}[X]$, puisque $D\big(\frac{X^{k + 1}}{k + 1}\big) = X^{k}$. De même, $D^{2}$ a pour noyau $\mathbb{C}_{1}[X]$ et pour image $\mathbb{C}_{n - 2}[X]$, réduite à $\{0\}$ si $n = 1$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, D = \mathbb{C}_{0}[X], \ \operatorname{Im} D = \mathbb{C}_{n - 1}[X], \ \mathrm{rg} D = n \qquad \mathrm{Ker}\, D^{2} = \mathbb{C}_{1}[X], \ \mathrm{rg} D^{2} = n - 1}$$

2. Si $f$ était injectif, il serait bijectif (théorème 10), et $D = f^{2}$ le serait aussi, ce qui est faux. Donc $\mathrm{Ker}\, f \neq \{0\}$. Or $\mathrm{Ker}\, f \subset \mathrm{Ker}\, f^{2} = \mathrm{Ker}\, D$, qui est de dimension $1$ : $\mathrm{Ker}\, f = \mathbb{C}_{0}[X]$, et $\mathrm{rg} f = n$. De même, $\operatorname{Im} f \supset \operatorname{Im} f^{2} = \operatorname{Im} D$, et les deux sont de dimension $n$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f = \mathbb{C}_{0}[X], \qquad \operatorname{Im} f = \mathbb{C}_{n - 1}[X], \qquad \mathrm{rg} f = n}$$

3. Comme $n \geqslant 1$, $\mathrm{Ker}\, f = \mathbb{C}_{0}[X] \subset \mathbb{C}_{n - 1}[X] = \operatorname{Im} f$ : la somme n'est pas directe. Par l'exercice 29, on devrait donc avoir $\mathrm{Ker}\, f^{2} \neq \mathrm{Ker}\, f$. Mais $\mathrm{Ker}\, f^{2} = \mathrm{Ker}\, D = \mathbb{C}_{0}[X] = \mathrm{Ker}\, f$ : c'est une contradiction. $$\boxed{\text{La dérivation de } \mathbb{C}_{n}[X] \text{ n'a pas de racine carrée dans } \mathcal{L}(\mathbb{C}_{n}[X]).}$$