Exercice 50

1. L'application $\Phi : f \mapsto \big(f(0), f(1)\big)$ est linéaire de $E$ dans $\mathbb{R}^{2}$. Si $f(0) = f(1) = 0$ et si $f$ est monotone, $f$ est comprise entre $f(0)$ et $f(1)$ sur $[0, 1]$, donc nulle : $\Phi$ est injective. Une famille libre de $E$ a pour image une famille libre de $\mathbb{R}^{2}$, donc a au plus deux éléments. $$\boxed{\dim E \leqslant 2}$$

2. Soit $E$ un sous-espace de $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ formé de fonctions monotones, et $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3} \in E$. Pour $N \in \mathbb{N}^{*}$, les restrictions des fonctions de $E$ à $[-N, N]$ forment un sous-espace de fonctions monotones, et la question 1 s'applique sur $[-N, N]$, en remplaçant $0$ et $1$ par $-N$ et $N$. Le sous-espace $$\Lambda_{N} = \Big\{\lambda \in \mathbb{R}^{3} \ \Big|\ \sum_{i} \lambda_{i}f_{i} = 0 \text{ sur } [-N, N]\Big\}$$ de $\mathbb{R}^{3}$ n'est donc pas réduit à $\{0\}$. La suite $(\Lambda_{N})$ est décroissante pour l'inclusion, donc la suite des dimensions, entières et au moins égales à $1$, est décroissante et stationnaire : $\Lambda_{N} = \Lambda_{N_{0}}$ pour $N \geqslant N_{0}$. Un vecteur non nul de $\Lambda_{N_{0}}$ donne une relation valable sur tout $\mathbb{R}$ : $(f_{1}, f_{2}, f_{3})$ est liée, et $\dim E \leqslant 2$.

Piège. On ne peut pas conclure directement par les valeurs en deux points, puisqu'aucun segment ne contient $\mathbb{R}$ ; et la relation trouvée sur chaque $[-N, N]$ pourrait a priori changer avec $N$. C'est la dimension finie de $\mathbb{R}^{3}$ qui force la stabilisation.