Exercice 51

Les $n + 1$ vecteurs $v_{1}, \dots, v_{n + 1}$ de $\mathbb{R}^{n}$ sont liés : il existe des réels $\lambda_{i}$ non tous nuls tels que $\sum_{i} \lambda_{i}v_{i} = 0$. Posons $I = \{i \mid \lambda_{i} > 0\}$ et $J = \{j \mid \lambda_{j} < 0\}$, qui sont disjoints. Si $J$ était vide, on choisirait $i$ avec $\lambda_{i} > 0$ et $k \in X_{i}$ ; la $k$-ième coordonnée de $\sum \lambda_{i}v_{i}$, somme de termes positifs, serait au moins $\lambda_{i} > 0$, ce qui est absurde. Donc $J \neq \emptyset$, et de même $I \neq \emptyset$. On a $$\sum_{i \in I} \lambda_{i}v_{i} = \sum_{j \in J} (-\lambda_{j})v_{j},$$ deux combinaisons à coefficients strictement positifs. La $k$-ième coordonnée du membre de gauche est strictement positive si et seulement si $k$ appartient à l'un des $X_{i}$, $i \in I$ ; de même à droite. $$\boxed{\bigcup_{i \in I} X_{i} = \bigcup_{j \in J} X_{j}}$$ À retenir. Un énoncé purement combinatoire se démontre ici par le lemme fondamental : la dimension compte les vecteurs, et les signes des coefficients font le reste.