Exercice 52

1. Un automorphisme conserve la dimension des sous-espaces (proposition 6), donc deux sous-espaces équivalents ont la même dimension. Réciproquement, si $\dim F = \dim F' = p$, on complète une base $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ en une base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$, et de même pour $F'$. L'endomorphisme $\varphi$ défini par $\varphi(e_{i}) = e_{i}'$ envoie une base sur une base, donc est un automorphisme, et $\varphi(F) = F'$. $$\boxed{F \sim F' \iff \dim F = \dim F' : \text{il y a } n + 1 \text{ classes.}}$$

2. Comme $\varphi$ est injectif, $\varphi(F \cap G) = \varphi(F) \cap \varphi(G)$ : deux couples équivalents ont les mêmes dimensions $p = \dim F$, $q = \dim G$ et $k = \dim(F \cap G)$. Réciproquement, on construit une base adaptée au couple : une base $(a_{i})$ de $F \cap G$, complétée en une base $(a_{i}, b_{j})$ de $F$ et en une base $(a_{i}, c_{l})$ de $G$. La famille $(a, b, c)$ est libre : si $\sum \alpha_{i}a_{i} + \sum \beta_{j}b_{j} + \sum \gamma_{l}c_{l} = 0$, le vecteur $\sum \gamma_{l}c_{l}$ appartient à $G$ et à $F$, donc à $F \cap G$, ce qui force les $\gamma_{l}$ à être nuls, puis les $\alpha_{i}$ et $\beta_{j}$. On la complète par des vecteurs $d_{m}$ en une base de $E$. Les quatre blocs ont pour tailles $k$, $p - k$, $q - k$ et $n - p - q + k$, qui ne dépendent que de $(p, q, k)$. L'automorphisme envoyant la base adaptée à $(F, G)$ sur celle adaptée à $(F', G')$, bloc par bloc, envoie $F$ sur $F'$ et $G$ sur $G'$. $$\boxed{(F, G) \sim (F', G') \iff (\dim F, \dim G, \dim F \cap G) = (\dim F', \dim G', \dim F' \cap G')}$$ Les triplets possibles sont, par l'exercice 23, ceux qui vérifient $\max(0, p + q - n) \leqslant k \leqslant \min(p, q)$.