Exercice 39

Soit $x \in E$ non nul, $H$ un supplémentaire de $\mathbb{K} x$ et $p$ le projecteur sur $\mathbb{K} x$ parallèlement à $H$. Comme $u$ commute avec $p$, l'image $\operatorname{Im} p = \mathbb{K} x$ est stable par $u$ (exercice 45 du chapitre 14) : $u(x)$ est colinéaire à $x$. Ceci valant pour tout $x$, l'exercice 52 du chapitre 14 montre que $u$ est une homothétie. $$\boxed{u \text{ commute avec tout } v \in \mathcal{L}(E) \iff u = \lambda\,\mathrm{id}_{E}}$$ La réciproque est immédiate : une homothétie commute avec tout endomorphisme.