Exercice 38

1. Le théorème du rang donne $\dim E = \dim\mathrm{Ker}\, f + \mathrm{rg} f = 2\mathrm{rg} f$.

2. Sens direct. L'égalité $\operatorname{Im} f = \mathrm{Ker}\, f$ entraîne $f^{2} = 0$. Soit $S$ un supplémentaire de $\mathrm{Ker}\, f$ ; la restriction $f_{|S}$ est un isomorphisme de $S$ sur $\operatorname{Im} f = \mathrm{Ker}\, f$ (théorème 8), de réciproque $\sigma$. On définit $h$ par $h = \sigma$ sur $\mathrm{Ker}\, f$ et $h = 0$ sur $S$. Pour $x \in S$, $h(f(x)) + f(h(x)) = \sigma(f(x)) + 0 = x$ ; pour $x \in \mathrm{Ker}\, f$, $h(f(x)) + f(h(x)) = 0 + f(\sigma(x)) = x$. Les deux endomorphismes coïncident sur $\mathrm{Ker}\, f$ et sur $S$, donc $h \circ f + f \circ h = \mathrm{id}_{E}$.

Sens réciproque. L'égalité $f^{2} = 0$ donne $\operatorname{Im} f \subset \mathrm{Ker}\, f$. Pour $x \in \mathrm{Ker}\, f$, on a $x = h(f(x)) + f(h(x))$, soit $x = f(h(x))$, et $x \in \operatorname{Im} f$. $$\boxed{\operatorname{Im} f = \mathrm{Ker}\, f \iff f^{2} = 0 \text{ et } \exists\, h, \ h \circ f + f \circ h = \mathrm{id}_{E}}$$