Exercice 36

$\triangleright$ Conditions nécessaires. La proposition 7 donne $\mathrm{rg}(g \circ f) \leqslant \min(r, s)$, et l'exercice 34 donne $\mathrm{rg}(g \circ f) \geqslant r + s - n$.

$\triangleright$ Réalisation. Soit $k$ un entier tel que $\max(0, r + s - n) \leqslant k \leqslant \min(r, s)$, et $d = r - k$. L'inégalité $k \leqslant \min(r, s)$ s'écrit $d \geqslant \max(0, r - s)$, et l'inégalité $k \geqslant \max(0, r + s - n)$ s'écrit $d \leqslant \min(r, n - s)$ : $$\max\big(0, r + (n - s) - n\big) \leqslant d \leqslant \min(r, n - s).$$ L'exercice 23 fournit deux sous-espaces $F_{0}$ et $G_{0}$, de dimensions $r$ et $n - s$, tels que $\dim(F_{0} \cap G_{0}) = d$. Par l'exercice 32, il existe $f$ d'image $F_{0}$, donc de rang $r$, et $g$ de noyau $G_{0}$, donc de rang $s$. L'exercice 34 donne alors $\mathrm{rg}(g \circ f) = r - d = k$. $$\boxed{\big\{\mathrm{rg}(g \circ f)\big\} = [\![\max(0, r + s - n)\,;\min(r, s)]\!]}$$