Exercice 41

Soit $(e_{1}, \dots, e_{m})$ une base de $E$.

1. Pour chaque $i$, il existe $p_{i}$ tel que $f^{p_{i}}(e_{i}) = 0$. Soit $q = \max_{i} p_{i}$ ; alors $f^{q}(e_{i}) = f^{q - p_{i}}\big(f^{p_{i}}(e_{i})\big) = 0$ pour tout $i$, et $f^{q}$, nul sur une base, est nul.

2. Pour chaque $i$, il existe $p_{i} \geqslant 1$ tel que $f^{p_{i}}(e_{i}) = e_{i}$, donc $f^{kp_{i}}(e_{i}) = e_{i}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. Avec $q = p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$, multiple de chaque $p_{i}$, on obtient $f^{q}(e_{i}) = e_{i}$ pour tout $i$, donc $f^{q} = \mathrm{id}_{E}$ (théorème 4 du chapitre 14).

Piège. L'entier $p$ dépend de $x$ ; c'est la dimension finie qui permet de se ramener à un nombre fini de vecteurs. Sur $\mathbb{K}[X]$, la dérivation vérifie l'hypothèse 1 sans qu'aucune de ses puissances soit nulle.