Exercice 10

La méthode est celle de la démonstration de la proposition 3 : à un couple $(A, B)$ de parties de $E$, on associe l'application $x \mapsto \big(\mathbf{1}_{A}(x), \mathbf{1}_{B}(x)\big)$ de $E$ dans $\{0, 1\}^{2}$. C'est une bijection de $\mathcal{P}(E)^{2}$ sur l'ensemble des applications de $E$ dans $\{0, 1\}^{2}$, puisqu'une partie est déterminée par son indicatrice. Une condition sur le couple $(A, B)$ qui se lit élément par élément devient une contrainte sur la valeur prise en chaque point $x$, et l'on compte les applications qui la respectent.

1. On a $A \cap B = C$ si et seulement si, pour tout $x \in C$, $x$ appartient à $A$ et à $B$, et, pour tout $x \notin C$, $x$ n'appartient pas aux deux. La valeur en $x$ est donc imposée, égale à $(1, 1)$, pour $x \in C$, et choisie librement parmi les trois couples $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(0, 1)$ pour $x \in E \setminus C$. Par la proposition 3, appliquée à l'ensemble $E \setminus C$, qui a $n - |C|$ éléments, $$\boxed{\big|\{(A, B) \in \mathcal{P}(E)^{2} \mid A \cap B = C\}\big| = 3^{\,n - |C|}}$$ Avec $C = \varnothing$, on retrouve les $3^{n}$ couples de parties disjointes de l'exercice 39 de la feuille du chapitre 1 ✓.

2. On associe de même à un triplet $(X, Y, Z)$ de parties de $E$ l'application $$x \mapsto \big(\mathbf{1}_{X}(x), \mathbf{1}_{Y}(x), \mathbf{1}_{Z}(x)\big),$$ qui définit une bijection de $\mathcal{P}(E)^{3}$ sur l'ensemble des applications de $E$ dans $\{0, 1\}^{3}$. On a $X \subset Y \subset Z$ si et seulement si la valeur en chaque point est l'un des quatre triplets $(0, 0, 0)$, $(0, 0, 1)$, $(0, 1, 1)$ et $(1, 1, 1)$ : chaque élément de $E$ est hors de $Z$, dans $Z \setminus Y$, dans $Y \setminus X$ ou dans $X$. $$\boxed{4^{n} \text{ triplets } (X, Y, Z) \text{ tels que } X \subset Y \subset Z}$$ Avec deux parties, le même raisonnement donne les $3^{n}$ couples tels que $X \subset Y$ de l'exercice 39 du chapitre 1 ; avec $k$ parties emboîtées, on trouverait $(k + 1)^{n}$ suites.

3. Les couples $(X, Y)$ tels que $X \cap Y$ soit un singleton se répartissent, selon la valeur $\{c\}$ de ce singleton, en $n$ ensembles deux à deux disjoints, dont chacun a $3^{n-1}$ éléments par la question 1. $$\boxed{n\,3^{n-1} \text{ couples } (X, Y) \text{ tels que } X \cap Y \text{ soit un singleton}}$$ Les trois résultats ont été vérifiés par énumération pour $n \leqslant 5$.