Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 21

Dénombrement et probabilités

110 exercices corrigés · 22 63 21 4

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Dénombrement

Exercice 1 On note E l'ensemble des entiers naturels qui s'écrivent en base 10 avec exactement sept chiffres, dont aucun n'est égal à 0. Déterminer le cardinal…
Exercice 2 1. Les quatre boulangeries d'un village ferment chacune un jour par semaine. Combien y a-t-il de façons de choisir leurs jours de fermeture ? Même…
Exercice 3 Une anagramme d'un mot est un mot formé des mêmes lettres, chacune figurant le même nombre de fois, dans un ordre quelconque; le mot lui-même est…
Exercice 4 Chaque étudiant d'un groupe étudie exactement une langue, l'anglais ou l'allemand, et suit exactement une option, parmi l'informatique, la chimie et…
Exercice 5 Soit n ∈ ℕ^(). Le diamètre d'une partie non vide A de llbracket 1,n rrbracket est l'entier max A - min A. Pour tout k ∈ ℕ, déterminer le nombre de…
Exercice 6 Un jeu de 32 cartes comporte quatre couleurs, cœur, carreau, trèfle et pique, et huit hauteurs, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as. Une main est un…
Exercice 7 1. On reprend le jeu de 32 cartes de l'exercice 6. Combien de mains contiennent au moins deux cartes de même hauteur ? Combien contiennent au moins…
Exercice 8 Au bridge, les 52 cartes du jeu de l'exercice 7 sont distribuées entre quatre joueurs appelés Nord, Sud, Est et Ouest, qui en reçoivent treize…
Exercice 9 Un mot de longueur n est un élément de a, b^n, que l'on écrit sans parenthèses ni virgules: aaaabba est le 7 -uplet (a, a, a, a, b, b, a). Un…
Exercice 10 Soit E un ensemble fini à n éléments. L'exercice 39 de la feuille du chapitre 1 a dénombré les couples (X, Y) de parties de E tels que X ⊂ Y, puis…
Exercice 11 Soit E un ensemble fini à n éléments. Calculer les sommes suivantes, où A, B, X, Y décrivent P(E). Σ_A |A|, Σ_((A, B)) |A ∩ B|, Σ_((A, B)) |A ∪ B|,…
Exercice 12 Soit n et p deux entiers naturels non nuls. 1. Déterminer le nombre d'applications strictement croissantes de llbracket 1,p rrbracket dans llbracket…
Exercice 13 Soit S un ensemble à n ≥ 1 éléments et A_1, …, A_m des parties de S qui séparent les points de S: pour tous x ≠ y dans S, il existe i ∈ llbracket…
Exercice 14 Grilles de Fleissner. Une grille carrée de côté n est partagée en n^2 cases, dans certaines desquelles on découpe un trou. On dit que c'est une…
Exercice 15 Pour n, p ∈ ℕ^(), on note S(n, p) le nombre de surjections d'un ensemble à n éléments sur un ensemble à p éléments; il ne dépend que de n et p, par…
Exercice 16 Pour n, k ∈ ℕ, on note T(n, k) le nombre de partitions de llbracket 1,n rrbracket en k parties non vides, avec les conventions T(0, 0) = 1 et T(n,…
Exercice 17 Soit n ≥ 1 et σ ∈ mathfrak S_n. On note ω(σ) le nombre d'orbites de σ, points fixes compris, comme dans l'exercice 63 de la feuille du chapitre 17.…
Exercice 18 Dérangements. Soit n ∈ ℕ. Un dérangement d'un ensemble E est une permutation de E sans point fixe; on note D_n le nombre de dérangements d'un…
Exercice 19 Soit p un nombre premier. Combien le groupe mathfrak S_2p contient-il d'éléments d'ordre p ? On utilisera l'exercice 7 de la feuille du chapitre 17,…
Exercice 20 Théorème de Sperner. Soit n ≥ 1. Une antichaîne est un ensemble A de parties de llbracket 1,n rrbracket dont aucune n'est incluse dans une autre.…
Exercice 21 Nombres de Catalan. Un chemin N/E est un chemin entre deux points de ℤ^2 formé de pas E = (1, 0) et N = (0, 1); il est codé par le mot formé de ses…
Exercice 22 Soit n ≥ 1. On note a_n le nombre de permutations de llbracket 1,2n rrbracket dont toutes les orbites ont au plus n éléments. 1. Soit k ∈ llbracket…

Espaces probabilisés finis

Exercice 23 Soit A et B deux événements. 1. On suppose que P(A) = 7/10, P(B) = 1/2 et P(A ∪ B) = 9/10. Calculer la probabilité que l'un exactement des deux…
Exercice 24 Soit n ∈ ℕ^(). 1. Déterminer la probabilité sur llbracket 1,n rrbracket pour laquelle la probabilité de chaque singleton k est proportionnelle à k.…
Exercice 25 On lance trois fois de suite un dé équilibré à six faces. Déterminer la probabilité d'obtenir au moins un six, puis exactement un six, puis au moins…
Exercice 26 On tire quatre cartes d'un jeu de 52 cartes, qui comporte treize cartes de chacune des quatre couleurs. Calculer la probabilité d'obtenir exactement…
Exercice 27 Soit n ≥ 2. Une urne contient trois boules rouges, deux boules noires et n boules blanches. On tire simultanément deux boules, tous les tirages…
Exercice 28 On retire au hasard dix cartes d'un jeu de 52 cartes, sans les regarder, puis on tire simultanément cinq cartes parmi les 42 cartes restantes. 1.…
Exercice 29 On mélange un jeu de 52 cartes, comportant 26 cartes rouges et 26 cartes noires, dont quatre rois; tous les ordres sont également probables. 1.…
Exercice 30 Soit n ∈ ℕ^(). On joue 2n + 1 fois à pile ou face avec une pièce équilibrée. 1. Calculer la probabilité d'obtenir au total strictement plus de piles…
Exercice 31 Soit n ∈ ℕ^(). On organise un tirage au sort entre n équipes de première division et n équipes de deuxième division: les 2n équipes sont réparties…
Exercice 32 Soit A_1, …, A_n des événements, avec n ≥ 2. 1. Montrer par récurrence que P(A_1 ∩ … ∩ A_n) ≥ P(A_1) + … + P(A_n) - (n - 1). 2. Inégalité de…
Exercice 33 Soit k et n deux entiers naturels non nuls. On range k objets dans n tiroirs, chaque objet étant placé dans un tiroir choisi au hasard, et toutes…
Exercice 34 Soit n ∈ ℕ^() et E = llbracket 1,n rrbracket. On choisit une application f: E → E au hasard, toutes les applications étant également probables, et…

Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercice 35 Les clients d'une compagnie d'assurance se répartissent en trois catégories: R_1, les bons risques, qui forment 20 % de la clientèle, R_2, les…
Exercice 36 Dans un questionnaire à choix multiples, chaque question propose m ≥ 2 réponses, dont une seule est exacte. Un candidat connaît la réponse à une…
Exercice 37 On dispose de 100 dés, dont 25 sont pipés: pour un dé pipé, la probabilité d'obtenir 6 vaut 1/2, et les autres dés sont équilibrés. 1. On choisit un…
Exercice 38 1. Montrer que deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) P(overline A ∩ overline B) = P(A ∩ overline B) P(overline A ∩…
Exercice 39 Un livre contient quatre erreurs. À chaque relecture, chacune des erreurs qui subsistent est corrigée avec la probabilité 1/3. On modélise n…
Exercice 40 Soit A et B deux événements tels que P(A) > 0. Montrer que P_(A ∪ B)(A ∩ B) ≤ P_A(A ∩ B), et interpréter cette inégalité: quelle est l'information…
Exercice 41 1. Soit A_1, …, A_n des événements mutuellement indépendants, de probabilités p_1, …, p_n. Exprimer P(A_1 ∪ … ∪ A_n) en fonction des p_i.…
Exercice 42 1. Un paquet contient quatre cartes: les rois de cœur et de carreau, et les dames de cœur et de carreau. On tire successivement, sans remise, deux…
Exercice 43 On dispose d'un dé équilibré A, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de sept dés équilibrés D_1, …, D_7: pour tout i ∈ llbracket 1,7…
Exercice 44 Deux joueurs A et B jouent au plus 2n parties, alternativement, A jouant la première. Lorsque c'est son tour, A gagne la partie avec la probabilité…
Exercice 45 Le paradoxe de Simpson. On dit que deux événements A et B sont positivement corrélés si P(A ∩ B) > P(A) P(B), et négativement corrélés si P(A ∩ B) <…
Exercice 46 Soit n ≥ 2. On lance n fois une pièce équilibrée. On note A_0 l'événement « le nombre total de piles est pair » et, pour k ∈ llbracket 1,n…
Exercice 47 Soit n ≥ 2 et Ω_n = llbracket 1,n rrbracket, muni de la probabilité uniforme. Un événement est dit non trivial si sa probabilité appartient à ]0,1…
Exercice 48 Soit A_1, …, A_n des événements mutuellement indépendants, dont les probabilités appartiennent à ]0,1 [. 1. Pour tout k, on choisit B_k égal à A_k…
Exercice 49 Les singes dactylographes. On lance n fois un dé équilibré dont les dix faces sont numérotées de 0 à 9. 1. Montrer que la probabilité qu'un 6…
Exercice 50 Un joueur dispose de deux machines à sous: la machine A fait gagner avec la probabilité 1/5, la machine B avec la probabilité 1/10. Il choisit la…
Exercice 51 Un chat partage son temps entre trois activités, qu'il pratique par tranches de cinq minutes: manger (M), jouer (J) et dormir (D). Après une tranche…
Exercice 52 Génotypes. Un gène existe sous deux formes, ou allèles, A et B; chaque individu porte deux allèles, et l'on distingue trois génotypes: 1 pour AA, 2…
Exercice 53 La loi de succession de Laplace. Soit r ≥ 1 et n ≥ 1 deux entiers. On dispose de r + 1 urnes numérotées de 0 à r; l'urne numéro k contient k boules…
Exercice 54 Un tournoi de taille n ≥ 2 est formé de n équipes numérotées de 1 à n qui se rencontrent deux à deux, chaque match désignant un vainqueur. On…

Variables aléatoires et lois

Exercice 55 1. Soit X_1 et X_2 deux variables indépendantes, de lois B(p_1) et B(p_2). Montrer que X_1^2, 1 - X_1 et X_1X_2 suivent des lois de Bernoulli, dont…
Exercice 56 1. On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité d'obtenir deux résultats égaux ? 2. On lance deux dés pipés de la même façon: chacun…
Exercice 57 Soit X: Ω → ℝ une variable aléatoire telle que X et -X aient la même loi. 1. Montrer qu'il existe un espace probabilisé fini (Ω', P') et deux…
Exercice 58 Une urne contient b boules blanches et r ≥ 1 boules rouges. On tire successivement toutes les boules, sans remise, tous les ordres de sortie étant…
Exercice 59 Soit n ∈ ℕ^(), p ∈ ]0,1 [ et X ∼ B(n,p). Quelles sont les valeurs les plus probables de X ? On étudiera le quotient (P(X = k + 1))/(P(X = k)), et…
Exercice 60 Soit p ∈ ]0,1 [ et k ∈ ℕ. Pour n ≥ 1, on considère une variable aléatoire X_n de loi B(n,p). Montrer que la suite (P(X_n ≥ k))_(n ≥ 1) est…
Exercice 61 Soit n ∈ ℕ^() et r ≥ 2. On choisit des parties X_1, …, X_r de llbracket 1,n rrbracket indépendantes et de loi uniforme sur P(llbracket 1,n…
Exercice 62 Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans llbracket 1,n rrbracket. On note M ∈ M_n(ℝ) la matrice de coefficients m_i,j = P(X = i, Y = j).…
Exercice 63 Soit n ∈ ℕ^(). On choisit quatre entiers a, b, c, d dans llbracket -n,n rrbracket, indépendamment et selon la loi uniforme, et l'on note p(n) la…
Exercice 64 1. Soit a, b, c, d et λ cinq réels strictement positifs. Montrer qu'on ne peut pas avoir simultanément ab = λ, cd = λ et ac + bd ≤ λ. 2. Soit n ≥ 1.…
Exercice 65 L'urne de Pólya. Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On répète l'expérience suivante: on tire une boule au hasard…
Exercice 66 Soit n ≥ 2 et Sigma une variable aléatoire de loi uniforme sur mathfrak S_n. 1. (a) Calculer P (Sigma (1) < Sigma (2)). (b) Donner les lois de Sigma…
Exercice 67 Soit p ∈ ]0,1 [ et X_1, …, X_n des variables mutuellement indépendantes, à valeurs dans -1, 1, telles que P(X_k = 1) = p pour tout k. Pour k ∈…
Exercice 68 Les boîtes d'allumettes de Banach. Un fumeur porte dans chacune de ses deux poches une boîte contenant initialement n allumettes. Chaque fois qu'il…
Exercice 69 Soit n ≥ 2. Un sous-groupe H de mathfrak S_n est dit transitif si, pour tous x, y ∈ llbracket 1,n rrbracket, il existe σ ∈ H telle que σ(x) = y. 1.…

Espérance

Exercice 70 1. Soit X une variable aléatoire de loi U(llbracket 1,n rrbracket). Calculer E ((X - 1)^2) et E (e^X). 2. Soit X une variable aléatoire de loi…
Exercice 71 On considère un dé pipé à six faces, tel que la probabilité d'obtenir la face numérotée k soit proportionnelle à k. On note X le résultat d'un…
Exercice 72 Soit p ∈ ]0,1 [, n ∈ ℕ^() et X une variable aléatoire de loi B(2n,p). On pose Y = lfloor X/2 rfloor. 1. Calculer E ((-1)^X). 2. Exprimer Y à l'aide…
Exercice 73 Soit n ≥ 2 et r ∈ llbracket 2,2n rrbracket. Sur l'arche d'Utnapishtim se trouvent 2n animaux, deux pour chacune des n espèces représentées. Pour…
Exercice 74 Soit p ∈ [0,1], n ∈ ℕ^(), X_1, …, X_n des variables de loi B(p) et N une variable à valeurs dans llbracket 1,n rrbracket, les variables X_1, …, X_n,…
Exercice 75 1. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans llbracket 1,n rrbracket. Montrer que la loi de X est déterminée par les nombres E(X^k), pour k ∈…
Exercice 76 Soit n ≥ 2 et Sigma une variable aléatoire de loi uniforme sur mathfrak S_n, comme dans l'exercice 66. 1. Une inversion d'une permutation σ est un…
Exercice 77 Soit n ≥ 2 et p ∈ ]0,1 [, et q = 1 - p. On lance n fois une pièce qui donne pile avec la probabilité p, les lancers étant indépendants. Pour k ∈…
Exercice 78 Dans un troupeau, chaque vache est atteinte d'une maladie avec la probabilité p = 0,15, indépendamment des autres. Pour dépister la maladie chez n ≥…
Exercice 79 Entropie. Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs distinctes x_1, …, x_n avec les probabilités p_1, …, p_n. Son entropie est le réel…
Exercice 80 Soit n ≥ 2 et r ≥ 1 deux entiers. On place r boules numérotées de 1 à r dans n tiroirs numérotés de 1 à n, chaque boule étant placée dans un tiroir…

Variance et covariance

Exercice 81 Soit X et Y deux variables indépendantes de même loi B(p), avec p ∈ ]0,1 [. On pose U = X + Y et V = X - Y. Déterminer la loi du couple (U, V), la…
Exercice 82 Soit X une variable aléatoire réelle et a, b deux réels tels que X et aX + b aient la même loi. 1. On suppose a ∉ -1, 1. Montrer qu'il existe un…
Exercice 83 Soit n ≥ 2, et X, Y deux variables indépendantes de loi U(llbracket 1,n rrbracket). On pose N = min (X, Y) et M = max (X, Y). 1. Calculer P(M ≤ k)…
Exercice 84 Soit X et Y deux variables aléatoires réelles, avec V(X) > 0. Déterminer les réels a et b qui minimisent la quantité E ((Y - (aX + b))^2), et…
Exercice 85 Soit A et B deux événements. Montrer que | P(A ∩ B) - P(A) P(B) | ≤ 1/4, et caractériser les cas d'égalité. On pourra appliquer l'inégalité de…
Exercice 86 Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi B(n, 1/2), et Z = X - Y. 1. Calculer l'espérance et la variance de Z. 2. Déterminer…
Exercice 87 Soit n ≥ 2, q ∈ ]0,1 [ et p = 1 - q. On considère un couple (X, Y) de variables aléatoires, à valeurs dans llbracket 0,n rrbracket × llbracket 1,n…
Exercice 88 Soit n ≥ 2 et E une partie aléatoire de llbracket 1,n rrbracket, de loi uniforme sur P(llbracket 1,n rrbracket). Pour i ∈ llbracket 1,n rrbracket,…
Exercice 89 La loi hypergéométrique. Une urne contient n boules, dont p sont blanches, avec 1 ≤ p ≤ n - 1. On tire simultanément s ∈ llbracket 1,n rrbracket…
Exercice 90 Soit 1 ≤ r ≤ n deux entiers. On choisit une partie Y de llbracket 1,n rrbracket à r éléments, toutes les parties à r éléments étant également…
Exercice 91 On tire successivement et sans remise les boules d'une urne qui contient n boules rouges et n boules noires, tous les ordres de sortie étant…
Exercice 92 On rappelle que Σ_(k=1)^n k^3 = (n^2(n + 1)^2)/4. Soit N ≥ 2. Une urne contient N - 2 boules blanches et 2 boules noires. On tire successivement et…
Exercice 93 Soit n ≥ 1 et (X_i,j)_(1 ≤ i,j ≤ n) des variables aléatoires mutuellement indépendantes, de loi uniforme sur -1, 1. On considère la matrice…
Exercice 94 Soit X_1, …, X_n des variables aléatoires réelles et C = (Cov(X_i, X_j))_(1 ≤ i,j ≤ n) ∈ M_n(ℝ) leur matrice de covariance. 1. Montrer que, pour…

Inégalités probabilistes et loi faible des grands nombres

Exercice 95 Pour n ∈ ℕ^(), on considère une variable aléatoire X_n de loi B(4n, 1/2). 1. Calculer la variance de X_n. 2. Montrer que P (|X_n - 2n| ≥ n) tend…
Exercice 96 Pour n ∈ ℕ^(), on choisit un vecteur X_n de 0, 1^n ⊂ ℝ^n selon la loi uniforme, et l'on note lVert X_n rVert sa norme euclidienne. Montrer que, pour…
Exercice 97 Soit X_1, …, X_n des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, de même loi, et m leur espérance commune. On pose Y_i = X_i - m, σ^2 =…
Exercice 98 Surréservation. Un avion compte 150 places. Chaque personne qui a acheté un billet se présente à l'embarquement avec la probabilité p = 0,75,…
Exercice 99 L'inégalité de Cantelli. Soit X une variable aléatoire réelle et a > 0. 1. Montrer que, pour tout réel t ≥ 0, P (X - E(X) ≥ a) ≤ (t^2 + V(X))/((a +…
Exercice 100 Soit n ≥ 2 et Sigma une variable aléatoire de loi uniforme sur mathfrak S_n. Comme dans le cours, on dit que i ∈ llbracket 1,n rrbracket est un…
Exercice 101 L'inégalité de Hoeffding pour la loi binomiale. La proposition 24 du cours traite le cas d'une pièce équilibrée; on étend ici le résultat à une…

Exercices de synthèse

Exercice 102 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. Les variables aléatoires sont réelles et définies sur un espace…
Exercice 103 L'indicatrice d'Euler par les probabilités. Pour n ≥ 1, on note φ(n) le nombre d'entiers de llbracket 1,n rrbracket premiers avec n. Soit n ≥ 2, de…
Exercice 104 Faut-il changer d'avis ? Dans un jeu, g numéros parmi n sont gagnants; ils sont choisis à l'avance par le meneur de jeu, qui est seul à les…
Exercice 105 Une méthode probabiliste. Un graphe Gamma est la donnée d'un ensemble fini S de sommets et d'un ensemble E de paires de sommets distincts, appelées…
Exercice 106 Le principe de réflexion. Pour des entiers s_0, s_ell et ell ≥ 1, on appelle chemin de (0, s_0) à (ell, s_ell) toute suite d'entiers (s_0, s_1, …,…
Exercice 107 Les n ≥ 2 passagers d'un avion de n places, numérotés de 1 à n, embarquent dans l'ordre de leurs numéros, et le passager k devrait s'asseoir à la…
Exercice 108 Pour n ∈ ℕ^(), on considère une variable aléatoire X_n de loi U(llbracket 1,n rrbracket), et l'on note p_n la probabilité que le premier chiffre…
Exercice 109 L'inégalité de Harris. Soit T_1, …, T_n des variables aléatoires mutuellement indépendantes, de lois de Bernoulli de paramètres quelconques. On…
Exercice 110 Soit n et p deux entiers naturels non nuls. Démontrer, par un argument de dénombrement, que Σ_(substack (i_1, …, i_p) ∈ ℕ^p i_1 + … + i_p = n)…