Exercice 59

On note $q = 1 - p$ et $\pi_{k} = \mathrm{P}(X = k) = \binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} > 0$ pour $k \in \llbracket 0\,,n \rrbracket$. Pour $k \in \llbracket 0\,,n - 1 \rrbracket$, la relation $\binom{n}{k+1} = \frac{n - k}{k + 1}\binom{n}{k}$ donne $$\boxed{\frac{\pi_{k+1}}{\pi_{k}} = \frac{(n - k)p}{(k + 1)q}} \qquad\text{et}\qquad \frac{\pi_{k+1}}{\pi_{k}} > 1 \iff (n - k)p > (k + 1)(1 - p) \iff k < (n + 1)p - 1,$$ avec égalité du quotient à $1$ si et seulement si $k = (n + 1)p - 1$. On note $m = \lfloor (n + 1)p \rfloor$, qui appartient à $\llbracket 0\,,n \rrbracket$ puisque $0 < (n + 1)p < n + 1$.

• Pour $k \geqslant m$, on a $k > (n + 1)p - 1$, donc $\pi_{k+1} < \pi_{k}$ : la suite $(\pi_{k})$ est strictement décroissante sur $\llbracket m\,,n \rrbracket$.

• Pour $k \leqslant m - 1$, on a $k \leqslant (n + 1)p - 1$, donc $\pi_{k+1} \geqslant \pi_{k}$, avec égalité seulement si $k = m - 1$ et $(n + 1)p = m$.

La suite $(\pi_{k})$ croît donc jusqu'au rang $m$, puis décroît strictement : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{si } (n + 1)p \notin \mathbb{N}, \text{ la valeur la plus probable est } \lfloor (n + 1)p \rfloor ; \\[2pt] \text{si } (n + 1)p \in \mathbb{N}, \text{ il y en a deux}, \ (n + 1)p - 1 \text{ et } (n + 1)p \end{array}}$$ Dans le second cas, $(n + 1)p$ appartient à $\llbracket 1\,,n \rrbracket$, et les deux valeurs sont dans $\llbracket 0\,,n \rrbracket$. Pour $\mathcal{B}(10,0{,}3)$, on a $(n + 1)p = 3{,}3$ et la valeur la plus probable est $3$, comme sur la figure de la section 21.5.3 ; pour $\mathcal{B}(9,\frac{1}{2})$, on a $(n + 1)p = 5$, et $4$ et $5$ sont également probables.

Pour $p = \frac{1}{2}$, on a $\pi_{k} = \frac{1}{2^{n}}\binom{n}{k}$, et l'on retrouve le résultat de l'exercice 28 de la feuille du chapitre 3 : les coefficients $\binom{n}{k}$ croissent puis décroissent, avec un maximum en $\frac{n}{2}$ si $n$ est pair, et deux maxima égaux en $\frac{n - 1}{2}$ et $\frac{n + 1}{2}$ si $n$ est impair. Le facteur $\big(\frac{p}{q}\big)^{k}$ décale le maximum de $\frac{n}{2}$ vers $np$ : de $(n + 1)p - 1 \leqslant m \leqslant (n + 1)p$, on tire $np - q \leqslant m \leqslant np + p$, et la valeur la plus probable est à moins de $1$ de $np$, nombre que la section 21.6 identifiera à l'espérance.